ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 14

### 1) $x^5 - x^4 - 7x^3 + 7x^2 + 12x - 12 = 0$ Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки: $$ (x^5 - x^4) - (7x^3 - 7x^2) + (12x - 12) = 0 $$ Вынесем общий множитель из каждой группы: $$ x^4(x - 1) - 7x^2(x - 1) + 12(x - 1) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки: $$ (x - 1)(x^4 - 7x^2 + 12) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$. 2) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$. Решим биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 7t + 12 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 3$, $t_2 = 4$. Вернемся к переменной $x$: - $x^2 = 3 \implies x_{2,3} = \pm \sqrt{3}$; - $x^2 = 4 \implies x_{4,5} = \pm 2$. **Ответ:** $-2; -\sqrt{3}; 1; \sqrt{3}; 2$. --- ### 2) $2x^5 - 3x^4 - 7x^3 + 8x^2 + 6x - 4 = 0$ Найдем один из корней среди делителей свободного члена (числа $-4$): $\pm 1, \pm 2, \pm 4$. Проверим $x = -1$: $$ 2(-1)^5 - 3(-1)^4 - 7(-1)^3 + 8(-1)^2 + 6(-1) - 4 = -2 - 3 + 7 + 8 - 6 - 4 = 0 $$ Значит, $x = -1$ — корень уравнения, и многочлен делится на $(x + 1)$. Выполним деление многочлена на $(x + 1)$ «уголком» (или сгруппируем слагаемые): $$ 2x^5 - 3x^4 - 7x^3 + 8x^2 + 6x - 4 = (x + 1)(2x^4 - 5x^3 - 2x^2 + 10x - 4) $$ Теперь решим уравнение: $$ 2x^4 - 5x^3 - 2x^2 + 10x - 4 = 0 $$ Проверим делитель $x = 2$: $$ 2 \cdot 2^4 - 5 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 10 \cdot 2 - 4 = 32 - 40 - 8 + 20 - 4 = 0 $$ Значит, $x = 2$ — корень, и многочлен делится на $(x - 2)$: $$ 2x^4 - 5x^3 - 2x^2 + 10x - 4 = (x - 2)(2x^3 - x^2 - 4x + 2) $$ Разложим на множители кубический многочлен методом группировки: $$ 2x^3 - x^2 - 4x + 2 = x^2(2x - 1) - 2(2x - 1) = (2x - 1)(x^2 - 2) $$ Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $$ (x + 1)(x - 2)(2x - 1)(x^2 - 2) = 0 $$ Приравниваем каждый множитель к нулю: 1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$; 2) $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$; 3) $2x - 1 = 0 \implies x_3 = \frac{1}{2}$; 4) $x^2 - 2 = 0 \implies x_{4,5} = \pm \sqrt{2}$. **Ответ:** $-1; -\sqrt{2}; \frac{1}{2}; \sqrt{2}; 2$. --- ### 3) $x^6 + x^5 - 7x^4 - 5x^3 + 16x^2 + 6x - 12 = 0$ Проверим $x = 1$ среди делителей свободного члена: $$ 1^6 + 1^5 - 7 \cdot 1^4 - 5 \cdot 1^3 + 16 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 - 12 = 1 + 1 - 7 - 5 + 16 + 6 - 12 = 0 $$ Значит, $x = 1$ является корнем. Разделим многочлен на $(x - 1)$: $$ (x^6 + x^5 - 7x^4 - 5x^3 + 16x^2 + 6x - 12) : (x - 1) = x^5 + 2x^4 - 5x^3 - 10x^2 + 6x + 12 $$ Разложим полученный многочлен пятой степени на множители способом группировки: $$ (x^5 + 2x^4) - (5x^3 + 10x^2) + (6x + 12) = 0 $$ $$ x^4(x + 2) - 5x^2(x + 2) + 6(x + 2) = 0 $$ $$ (x + 2)(x^4 - 5x^2 + 6) = 0 $$ Таким образом, исходное уравнение разбивается на множители: $$ (x - 1)(x + 2)(x^4 - 5x^2 + 6) = 0 $$ Приравниваем множители к нулю: 1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$; 2) $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$; 3) $x^4 - 5x^2 + 6 = 0$. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$: $$ t^2 - 5t + 6 = 0 \implies t_1 = 2, \quad t_2 = 3 $$ Отсюда: - $x^2 = 2 \implies x_{3,4} = \pm \sqrt{2}$; - $x^2 = 3 \implies x_{5,6} = \pm \sqrt{3}$. **Ответ:** $-2; -\sqrt{3}; -\sqrt{2}; 1; \sqrt{2}; \sqrt{3}$. --- ### 4) $9x^6 + 6x^5 - 17x^4 - 12x^3 + 7x^2 + 6x + 1 = 0$ Проверим значения $x = 1$ и $x = -1$: - При $x = 1$: $9 \cdot 1^6 + 6 \cdot 1^5 - 17 \cdot 1^4 - 12 \cdot 1^3 + 7 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 1 = 9 + 6 - 17 - 12 + 7 + 6 + 1 = 0$. - При $x = -1$: $9(-1)^6 + 6(-1)^5 - 17(-1)^4 - 12(-1)^3 + 7(-1)^2 + 6(-1) + 1 = 9 - 6 - 17 + 12 + 7 - 6 + 1 = 0$. Так как $x = 1$ и $x = -1$ являются корнями, многочлен делится на $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$. Разделим левую часть уравнения на $x^2 - 1$: $$ (9x^6 + 6x^5 - 17x^4 - 12x^3 + 7x^2 + 6x + 1) : (x^2 - 1) = 9x^4 + 6x^3 - 8x^2 - 6x - 1 $$ Проверим $x = 1$ и $x = -1$ для многочлена $9x^4 + 6x^3 - 8x^2 - 6x - 1$: - При $x = 1$: $9 + 6 - 8 - 6 - 1 = 0$; - При $x = -1$: $9 - 6 - 8 + 6 - 1 = 0$. Значит, этот многочлен также делится на $x^2 - 1$. Разделим его на $x^2 - 1$: $$ (9x^4 + 6x^3 - 8x^2 - 6x - 1) : (x^2 - 1) = 9x^2 + 6x + 1 $$ Заметим, что $9x^2 + 6x + 1 = (3x + 1)^2$. Следовательно, исходное уравнение принимает вид: $$ (x^2 - 1) \cdot (x^2 - 1) \cdot (3x + 1)^2 = 0 $$ $$ (x - 1)^2(x + 1)^2(3x + 1)^2 = 0 $$ Приравниваем каждый множитель к нулю: 1) $(x - 1)^2 = 0 \implies x_1 = 1$; 2) $(x + 1)^2 = 0 \implies x_2 = -1$; 3) $(3x + 1)^2 = 0 \implies 3x + 1 = 0 \implies x_3 = -\frac{1}{3}$. **Ответ:** $-1; -\frac{1}{3}; 1$.