ГДЗ по алгебре 9 класс Алимов номер - 163

**1)** $y = |x + 3| + 2$ График функции получается сдвигом графика $y = |x|$ на $3$ единицы влево вдоль оси $Ox$ и на $2$ единицы вверх вдоль оси $Oy$. Вершина графика находится в точке $(-3; 2)$. Раскроем знак модуля по определению: - если $x + 3 \ge 0$ (то есть $x \ge -3$), то $y = (x + 3) + 2 = x + 5$; - если $x + 3 < 0$ (то есть $x < -3$), то $y = -(x + 3) + 2 = -x - 3 + 2 = -x - 1$. Таким образом: $$ y = \begin{cases} x + 5, & \text{при } x \ge -3, \\ -x - 1, & \text{при } x < -3. \end{cases} $$ Для построения графика (двух лучей с началом в вершине) найдем координаты нескольких точек: | $x$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | | :-: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :-: | | $y$ | $4$ | $3$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | График представляет собой угол («галочку») с вершиной в точке $(-3; 2)$, ветви которого направлены вверх. --- **2)** $y = -|x|$ График получается зеркальным отражением графика $y = |x|$ относительно оси $Ox$. Раскроем модуль: - если $x \ge 0$, то $y = -x$; - если $x < 0$, то $y = -(-x) = x$. Таким образом: $$ y = \begin{cases} -x, & \text{при } x \ge 0, \\ x, & \text{при } x < 0. \end{cases} $$ Вершина графика находится в начале координат — точке $(0; 0)$. Таблица точек: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :-: | :--: | :--: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-2$ | График представляет собой угол с вершиной в точке $(0; 0)$, ветви которого направлены вниз. --- **3)** $y = 2|x| + 1$ График получается из графика $y = |x|$ растяжением вдоль оси $Oy$ в $2$ раза и последующим сдвигом на $1$ единицу вверх. Раскроем модуль: - если $x \ge 0$, то $y = 2x + 1$; - если $x < 0$, то $y = 2(-x) + 1 = -2x + 1$. Таким образом: $$ y = \begin{cases} 2x + 1, & \text{при } x \ge 0, \\ -2x + 1, & \text{при } x < 0. \end{cases} $$ Вершина графика находится в точке $(0; 1)$. Таблица точек: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :-: | :--: | :--: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $5$ | $3$ | $1$ | $3$ | $5$ | График представляет собой угол с вершиной в точке $(0; 1)$, ветви которого направлены вверх. --- **4)** $y = 1 - |1 - 2x|$ Так как $|1 - 2x| = |2x - 1|$, перепишем функцию в виде: $y = 1 - |2x - 1|$. Найдем нуль подмодульного выражения: $2x - 1 = 0 \implies x = 0{,}5$. Раскроем модуль: - если $x \ge 0{,}5$, то $2x - 1 \ge 0$, тогда $y = 1 - (2x - 1) = 1 - 2x + 1 = -2x + 2$; - если $x < 0{,}5$, то $2x - 1 < 0$, тогда $y = 1 - (-(2x - 1)) = 1 + 2x - 1 = 2x$. Таким образом: $$ y = \begin{cases} -2x + 2, & \text{при } x \ge 0{,}5, \\ 2x, & \text{при } x < 0{,}5. \end{cases} $$ Вершина графика находится в точке $(0{,}5; 1)$. Таблица точек: | $x$ | $-1$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | | :-: | :--: | :-: | :-----: | :-: | :-: | | $y$ | $-2$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-2$ | График состоит из двух лучей, выходящих из вершины $(0{,}5; 1)$ и направленных вниз. --- **5)** $y = |x| + |x - 2|$ Подмодульные выражения обращаются в нуль в точках $x = 0$ и $x = 2$. Эти точки делят числовую прямую на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $[0; 2]$ и $(2; +\infty)$. Раскроем модули на каждом из промежутков: 1. При $x < 0$: $|x| = -x$, $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$. $y = -x - x + 2 = -2x + 2$. 2. При $0 \le x \le 2$: $|x| = x$, $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$. $y = x - x + 2 = 2$. 3. При $x > 2$: $|x| = x$, $|x - 2| = x - 2$. $y = x + x - 2 = 2x - 2$. Получаем кусочно-заданную функцию: $$ y = \begin{cases} -2x + 2, & \text{при } x < 0, \\ 2, & \text{при } 0 \le x \le 2, \\ 2x - 2, & \text{при } x > 2. \end{cases} $$ Таблица точек для построения: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :-: | :--: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | $4$ | График представляет собой ломаную линию («корыто»), состоящую из горизонтального отрезка $y = 2$ при $x \in [0; 2]$ и двух уходящих вверх лучей при $x < 0$ и $x > 2$. --- **6)** $y = |x + 1| - |x|$ Подмодульные выражения обращаются в нуль в точках $x = -1$ и $x = 0$. Рассмотрим функцию на трех промежутках: 1. При $x < -1$: $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$, $|x| = -x$. $y = (-x - 1) - (-x) = -x - 1 + x = -1$. 2. При $-1 \le x < 0$: $|x + 1| = x + 1$, $|x| = -x$. $y = (x + 1) - (-x) = x + 1 + x = 2x + 1$. 3. При $x \ge 0$: $|x + 1| = x + 1$, $|x| = x$. $y = (x + 1) - x = 1$. Получаем кусочно-заданную функцию: $$ y = \begin{cases} -1, & \text{при } x < -1, \\ 2x + 1, & \text{при } -1 \le x < 0, \\ 1, & \text{при } x \ge 0. \end{cases} $$ Таблица точек для построения: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $-0{,}5$ | $0$ | $1$ | | :-: | :--: | :--: | :------: | :-: | :-: | | $y$ | $-1$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $1$ | График состоит из горизонтального луча $y = -1$ при $x \le -1$, отрезка прямой $y = 2x + 1$ при $x \in [-1; 0]$ и горизонтального луча $y = 1$ при $x \ge 0$.