ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 99

**1)** $$ \frac{x+1}{2} - 2x \leqslant \frac{x-2}{3} + \frac{x}{2} $$ Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей — число $6$: $$ 6 \cdot \frac{x+1}{2} - 6 \cdot 2x \leqslant 6 \cdot \frac{x-2}{3} + 6 \cdot \frac{x}{2} $$ $$ 3(x+1) - 12x \leqslant 2(x-2) + 3x $$ Раскроем скобки: $$ 3x + 3 - 12x \leqslant 2x - 4 + 3x $$ Приведём подобные слагаемые в обеих частях: $$ -9x + 3 \leqslant 5x - 4 $$ Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные: $$ -9x - 5x \leqslant -4 - 3 $$ $$ -14x \leqslant -7 $$ Разделим обе части на $-14$, сменив знак неравенства на противоположный: $$ x \geqslant \frac{-7}{-14} $$ $$ x \geqslant 0{,}5 $$ Ответ: $x \geqslant 0{,}5$ (или $x \in [0{,}5; +\infty)$). --- **2)** $$ \frac{x-4}{3} + 3x \geqslant \frac{x}{3} - \frac{x+1}{4} $$ Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей — число $12$: $$ 12 \cdot \frac{x-4}{3} + 12 \cdot 3x \geqslant 12 \cdot \frac{x}{3} - 12 \cdot \frac{x+1}{4} $$ $$ 4(x-4) + 36x \geqslant 4x - 3(x+1) $$ Раскроем скобки: $$ 4x - 16 + 36x \geqslant 4x - 3x - 3 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ 40x - 16 \geqslant x - 3 $$ Перенесём слагаемые с переменной влево, а числа вправо: $$ 40x - x \geqslant -3 + 16 $$ $$ 39x \geqslant 13 $$ Разделим обе части на $39$: $$ x \geqslant \frac{13}{39} $$ Сократим дробь на $13$: $$ x \geqslant \frac{1}{3} $$ Ответ: $x \geqslant \frac{1}{3}$ (или $x \in \left[\frac{1}{3}; +\infty\right)$). --- **3)** $$ \frac{2x-1}{2} - \frac{2x}{5} > \frac{3x-2}{5} - \frac{x}{4} $$ Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей — число $20$: $$ 20 \cdot \frac{2x-1}{2} - 20 \cdot \frac{2x}{5} > 20 \cdot \frac{3x-2}{5} - 20 \cdot \frac{x}{4} $$ $$ 10(2x-1) - 4 \cdot 2x > 4(3x-2) - 5x $$ Раскроем скобки: $$ 20x - 10 - 8x > 12x - 8 - 5x $$ Приведём подобные слагаемые: $$ 12x - 10 > 7x - 8 $$ Перенесём слагаемые с переменной влево, а числа вправо: $$ 12x - 7x > -8 + 10 $$ $$ 5x > 2 $$ Разделим обе части на $5$: $$ x > \frac{2}{5} $$ $$ x > 0{,}4 $$ Ответ: $x > 0{,}4$ (или $x \in (0{,}4; +\infty)$). --- **4)** $$ \frac{3x+1}{4} - \frac{x}{2} < \frac{5x-2}{3} + \frac{3x}{5} $$ Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей — число $60$: $$ 60 \cdot \frac{3x+1}{4} - 60 \cdot \frac{x}{2} < 60 \cdot \frac{5x-2}{3} + 60 \cdot \frac{3x}{5} $$ $$ 15(3x+1) - 30x < 20(5x-2) + 12 \cdot 3x $$ Раскроем скобки: $$ 45x + 15 - 30x < 100x - 40 + 36x $$ Приведём подобные слагаемые: $$ 15x + 15 < 136x - 40 $$ Перенесём слагаемые с переменной влево, а числа вправо: $$ 15x - 136x < -40 - 15 $$ $$ -121x < -55 $$ Разделим обе части на $-121$, сменив знак неравенства на противоположный: $$ x > \frac{-55}{-121} $$ $$ x > \frac{55}{121} $$ Сократим дробь на $11$: $$ x > \frac{5}{11} $$ Ответ: $x > \frac{5}{11}$ (или $x \in \left(\frac{5}{11}; +\infty\right)$).