ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 906

Пусть $t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$. Возведём обе части этого равенства в квадрат: $$ t^2 = \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} + 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} + 2 $$ Отсюда выразим сумму квадратов: $$ \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} = t^2 - 2 $$ Подставим полученные выражения в исходное выражение: $$ 3\left(\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2}\right) - 8\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) + 10 = 3(t^2 - 2) - 8t + 10 $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ 3t^2 - 6 - 8t + 10 = 3t^2 - 8t + 4 $$ Разложим квадратный трёхчлен $3t^2 - 8t + 4$ на множители. Для этого найдём его корни: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 = 4^2 $$ $$ t_1 = \frac{8 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$ $$ t_2 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 $$ Тогда трёхчлен раскладывается на множители: $$ 3t^2 - 8t + 4 = 3\left(t - \frac{2}{3}\right)(t - 2) = (3t - 2)(t - 2) $$ Оценим возможные значения переменной $t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$: 1. Если числа $a$ и $b$ одного знака (то есть $ab > 0$), то: $$ t - 2 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab} = \frac{(a - b)^2}{ab} \ge 0 \implies t \ge 2 $$ 2. Если числа $a$ и $b$ разных знаков (то есть $ab < 0$), то: $$ t + 2 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{ab} = \frac{(a + b)^2}{ab} \le 0 \implies t \le -2 $$ Таким образом, для любых $a \neq 0$ и $b \neq 0$ выполняется либо $t \ge 2$, либо $t \le -2$. Определим знак выражения $(3t - 2)(t - 2)$ в каждом из этих случаев: - При $t \ge 2$: множитель $t - 2 \ge 0$, а множитель $3t - 2 \ge 3 \cdot 2 - 2 = 4 > 0$. Произведение неотрицательно: $(3t - 2)(t - 2) \ge 0$. - При $t \le -2$: множитель $t - 2 \le -2 - 2 = -4 < 0$, а множитель $3t - 2 \le 3 \cdot (-2) - 2 = -8 < 0$. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $(3t - 2)(t - 2) > 0$. В обоих случаях выражение $(3t - 2)(t - 2) \ge 0$, а значит, и исходное выражение принимает неотрицательные значения при любых $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Что и требовалось доказать.