ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 908

Уравнение $y = ax^2 - x + a$ задаёт параболу только при $a \neq 0$ (при $a = 0$ графиком является прямая $y = -x$, не имеющая вершины). Чтобы вершины двух парабол лежали по разные стороны от горизонтальной прямой $y = \frac{3}{4}$, необходимо и достаточно, чтобы ордината вершины одной параболы была строго больше $\frac{3}{4}$, а другой — строго меньше $\frac{3}{4}$. Это условие равносильно неравенству: $$ \left(y_1 - \frac{3}{4}\right)\left(y_2 - \frac{3}{4}\right) < 0, $$ где $y_1$ и $y_2$ — ординаты вершин парабол. 1. Найдем координаты вершины первой параболы $y = x^2 - 2(a+1)x + 1$: $$ x_1 = -\frac{b}{2a_{\text{к}}} = -\frac{-2(a+1)}{2 \cdot 1} = a + 1 $$ Подставим $x_1$ в уравнение параболы: $$ y_1 = (a+1)^2 - 2(a+1)(a+1) + 1 = -(a+1)^2 + 1 = -(a^2 + 2a + 1) + 1 = -a^2 - 2a $$ Тогда: $$ y_1 - \frac{3}{4} = -a^2 - 2a - \frac{3}{4} = -\left(a^2 + 2a + \frac{3}{4}\right) $$ 2. Найдем координаты вершины второй параболы $y = ax^2 - x + a$ (при $a \neq 0$): $$ x_2 = -\frac{b}{2a_{\text{к}}} = -\frac{-1}{2a} = \frac{1}{2a} $$ Подставим $x_2$ в уравнение параболы: $$ y_2 = a \cdot \left(\frac{1}{2a}\right)^2 - \frac{1}{2a} + a = \frac{1}{4a} - \frac{1}{2a} + a = a - \frac{1}{4a} = \frac{4a^2 - 1}{4a} $$ Тогда: $$ y_2 - \frac{3}{4} = \frac{4a^2 - 1}{4a} - \frac{3}{4} = \frac{4a^2 - 3a - 1}{4a} $$ 3. Составим и решим неравенство: $$ -\left(a^2 + 2a + \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{4a^2 - 3a - 1}{4a} < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-4$, изменив знак неравенства: $$ \left(a^2 + 2a + \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{4a^2 - 3a - 1}{a} > 0 $$ Разложим квадратные трехчлены на линейные множители: * Для $a^2 + 2a + \frac{3}{4} = 0$: $$ D_1 = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{3}{4} = 4 - 3 = 1 $$ $$ a = \frac{-2 \pm 1}{2} \implies a = -\frac{1}{2}, \quad a = -\frac{3}{2} $$ Следовательно, $a^2 + 2a + \frac{3}{4} = \left(a + \frac{3}{2}\right)\left(a + \frac{1}{2}\right)$. * Для $4a^2 - 3a - 1 = 0$: $$ D_2 = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 $$ $$ a = \frac{3 \pm 5}{8} \implies a = 1, \quad a = -\frac{1}{4} $$ Следовательно, $4a^2 - 3a - 1 = 4(a - 1)\left(a + \frac{1}{4}\right)$. Неравенство принимает вид: $$ \frac{4\left(a + \frac{3}{2}\right)\left(a + \frac{1}{2}\right)\left(a + \frac{1}{4}\right)(a - 1)}{a} > 0 $$ Разделим обе части на $4$: $$ \frac{\left(a + \frac{3}{2}\right)\left(a + \frac{1}{2}\right)\left(a + \frac{1}{4}\right)(a - 1)}{a} > 0 $$ Применим метод интервалов. На числовой прямой отметим нули числителя и знаменателя в порядке возрастания: $$ -\frac{3}{2}; \quad -\frac{1}{2}; \quad -\frac{1}{4}; \quad 0; \quad 1 $$ Расставим знаки выражения на получившихся интервалах: * при $a > 1$ выражение положительно ($+$); * при $0 < a < 1$ выражение отрицательно ($-$); * при $-\frac{1}{4} < a < 0$ выражение положительно ($+$); * при $-\frac{1}{2} < a < -\frac{1}{4}$ выражение отрицательно ($-$); * при $-\frac{3}{2} < a < -\frac{1}{2}$ выражение положительно ($+$); * при $a < -\frac{3}{2}$ выражение отрицательно ($-$). Нам подходят промежутки, где выражение строго больше нуля: $$ a \in \left(-\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{4}; 0\right) \cup (1; +\infty) $$ Ответ: $a \in \left(-\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{4}; 0\right) \cup (1; +\infty)$.