ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 907

Для доказательства неравенства преобразуем выражение в левой части, выделив полные квадраты. Рассмотрим выражение: $$ x^2 + 5y^2 - 4xy + 2x - 6y + 3 $$ Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, и выделим полный квадрат относительно $x$: $$ x^2 - 2x(2y - 1) + 5y^2 - 6y + 3 $$ Дополним выражение с $x$ до точного квадрата двучлена: $$ (x - (2y - 1))^2 - (2y - 1)^2 + 5y^2 - 6y + 3 $$ Раскроем скобки в вычитаемом выражении и приведём подобные слагаемые: $$ (x - 2y + 1)^2 - (4y^2 - 4y + 1) + 5y^2 - 6y + 3 $$ $$ (x - 2y + 1)^2 - 4y^2 + 4y - 1 + 5y^2 - 6y + 3 $$ $$ (x - 2y + 1)^2 + y^2 - 2y + 2 $$ Теперь выделим полный квадрат из оставшейся части с переменной $y$: $$ (x - 2y + 1)^2 + (y^2 - 2y + 1) + 1 = (x - 2y + 1)^2 + (y - 1)^2 + 1 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то для любых действительных значений $x$ и $y$ выполняются неравенства: $$ (x - 2y + 1)^2 \ge 0 $$ $$ (y - 1)^2 \ge 0 $$ Следовательно: $$ (x - 2y + 1)^2 + (y - 1)^2 + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1 > 0 $$ Значит, $x^2 + 5y^2 - 4xy + 2x - 6y + 3 > 0$ при любых действительных значениях $x$ и $y$. Что и требовалось доказать.