ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 903

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases} $$ По условию задачи корни имеют разные знаки и по модулю больше единицы. Пусть для определенности отрицательным корнем будет $x_1$, а положительным — $x_2$. Тогда: $|x_1| > 1 \implies x_1 < -1$; $|x_2| > 1 \implies x_2 > 1$. Таким образом, верны неравенства: $$x_1 < -1 < 1 < x_2$$ 1. Докажем первое неравенство: $p + q + 1 < 0$. Подставим выражения для $p$ и $q$ через корни уравнения: $$p + q + 1 = -(x_1 + x_2) + x_1 x_2 + 1$$ Сгруппируем слагаемые: $$p + q + 1 = x_1 x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1(x_2 - 1) - (x_2 - 1) = (x_1 - 1)(x_2 - 1)$$ Определим знаки множителей: * так как $x_1 < -1$, то $x_1 - 1 < -2 < 0$ (первый множитель отрицателен); * так как $x_2 > 1$, то $x_2 - 1 > 0$ (второй множитель положителен). Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно: $$(x_1 - 1)(x_2 - 1) < 0 \implies p + q + 1 < 0$$ Первое неравенство доказано. 2. Докажем второе неравенство: $q - p + 1 < 0$. Преобразуем выражение, подставив соотношения из теоремы Виета: $$q - p + 1 = x_1 x_2 - (-(x_1 + x_2)) + 1 = x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1$$ Разложим выражение на множители способом группировки: $$q - p + 1 = x_1(x_2 + 1) + (x_2 + 1) = (x_1 + 1)(x_2 + 1)$$ Определим знаки множителей: * так как $x_1 < -1$, то $x_1 + 1 < 0$ (первый множитель отрицателен); * так как $x_2 > 1$, то $x_2 + 1 > 2 > 0$ (второй множитель положителен). Произведение чисел с разными знаками отрицательно: $$(x_1 + 1)(x_2 + 1) < 0 \implies q - p + 1 < 0$$ Второе неравенство доказано.