ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 905

Так как $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, при подстановке каждого из них в уравнение получаются верные числовые равенства: $$ ax_1^2 + bx_1 + c = 0 $$ $$ ax_2^2 + bx_2 + c = 0 $$ По условию $m$ — натуральное число и $m \geqslant 2$, следовательно, показатель $m - 2 \geqslant 0$. Умножим первое равенство на $x_1^{m-2}$, а второе — на $x_2^{m-2}$: $$ x_1^{m-2}(ax_1^2 + bx_1 + c) = 0 \implies ax_1^m + bx_1^{m-1} + cx_1^{m-2} = 0 $$ $$ x_2^{m-2}(ax_2^2 + bx_2 + c) = 0 \implies ax_2^m + bx_2^{m-1} + cx_2^{m-2} = 0 $$ Сложим полученные равенства почленно: $$ (ax_1^m + bx_1^{m-1} + cx_1^{m-2}) + (ax_2^m + bx_2^{m-1} + cx_2^{m-2}) = 0 $$ Сгруппируем слагаемые при коэффициентах $a$, $b$ и $c$: $$ a(x_1^m + x_2^m) + b(x_1^{m-1} + x_2^{m-1}) + c(x_1^{m-2} + x_2^{m-2}) = 0 $$ Так как по условию $s_k = x_1^k + x_2^k$, заменим выражения в скобках на соответствующие обозначения: - $x_1^m + x_2^m = s_m$; - $x_1^{m-1} + x_2^{m-1} = s_{m-1}$; - $x_1^{m-2} + x_2^{m-2} = s_{m-2}$. В результате получаем: $$ as_m + bs_{m-1} + cs_{m-2} = 0 $$ Что и требовалось доказать.