ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 901

Для доказательства того, что корни уравнения являются действительными и отрицательными тогда и только тогда, когда $p^2 - 4q \geqslant 0$, $p > 0$ и $q > 0$, необходимо доказать утверждение в две стороны: необходимость и достаточность. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$. **1. Необходимость** Пусть корни уравнения действительные и отрицательные, то есть $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$. 1) Так как корни уравнения действительные, дискриминант квадратного уравнения неотрицателен: $$ D = p^2 - 4q \geqslant 0 $$ 2) По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases} $$ 3) Так как оба корня отрицательны ($x_1 < 0$, $x_2 < 0$): - их произведение положительно: $x_1 \cdot x_2 > 0$, следовательно, $q > 0$; - их сумма отрицательна: $x_1 + x_2 < 0$, то есть $-p < 0$, откуда $p > 0$. Значит, если корни действительные и отрицательные, то обязательно выполняются условия: $p^2 - 4q \geqslant 0$, $p > 0$ и $q > 0$. --- **2. Достаточность** Пусть выполнены условия $p^2 - 4q \geqslant 0$, $p > 0$ и $q > 0$. 1) Так как дискриминант $D = p^2 - 4q \geqslant 0$, квадратное уравнение имеет действительные корни $x_1$ и $x_2$. 2) По теореме Виета: $$ x_1 \cdot x_2 = q \quad \text{и} \quad x_1 + x_2 = -p $$ 3) Так как $q > 0$, то произведение корней положительно ($x_1 \cdot x_2 > 0$). Это означает, что корни $x_1$ и $x_2$ имеют одинаковые знаки (оба корня либо положительны, либо отрицательны). 4) Так как $p > 0$, то сумма корней отрицательна: $$ x_1 + x_2 = -p < 0 $$ Сумма двух чисел одного знака отрицательна только тогда, когда оба эти числа отрицательны. Следовательно, $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$. Таким образом, корни уравнения являются действительными и отрицательными. Обе части утверждения доказаны, следовательно, корни уравнения $x^2 + px + q = 0$ действительные и отрицательные только тогда, когда $p^2 - 4q \geqslant 0$, $p > 0$, $q > 0$. Что и требовалось доказать.