ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 889

Дано квадратное уравнение: $$ x^2 + rx + 2r - 3 = 0 $$ Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = r$, $c = 2r - 3$. Найдём дискриминант уравнения: $$ D = b^2 - 4ac = r^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2r - 3) = r^2 - 8r + 12 $$ 1) Квадратное уравнение имеет равные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю: $$ D = 0 $$ $$ r^2 - 8r + 12 = 0 $$ По теореме Виета: $\begin{cases} r_1 + r_2 = 8 \\ r_1 \cdot r_2 = 12 \end{cases}$ Отсюда: $r_1 = 2$, $r_2 = 6$. При $r = 2$ или $r = 6$ уравнение имеет равные корни. 2) Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Корни действительны, равны по модулю и противоположны по знаку, если $x_1 = -x_2$ и $x_1 \neq 0$. Из этого следует, что их сумма равна нулю: $$ x_1 + x_2 = 0 $$ По теореме Виета для приведённого квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком: $$ x_1 + x_2 = -r $$ Следовательно: $$ -r = 0 \implies r = 0 $$ Проверим, выполняются ли все условия при $r = 0$: 1. Дискриминант: $D = 0^2 - 8 \cdot 0 + 12 = 12 > 0$ — уравнение действительно имеет два различных вещественных корня. 2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2r - 3 = 2 \cdot 0 - 3 = -3 < 0$ — корни действительно имеют противоположные знаки (и не равны нулю). Подставив $r = 0$ в исходное уравнение, получаем: $$ x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} $$ Корни $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$ являются действительными числами, их модули равны ($|\sqrt{3}| = |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$), а знаки противоположны. **Ответ:** 1) $r = 2$; $r = 6$; 2) $r = 0$.