ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 709

1) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 5x - 2 \geq 6x - 1, \\ 4 - 3x > 2x - 6. \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы отдельно: 1. Перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую: $5x - 6x \geq -1 + 2$; $-x \geq 1$. Разделим обе части на $-1$, меняя знак неравенства на противоположный: $x \leq -1$. 2. Аналогично решим второе неравенство: $-3x - 2x > -6 - 4$; $-5x > -10$. Разделим обе части на $-5$, меняя знак неравенства: $x < 2$. Запишем полученную систему: $$ \begin{cases} x \leq -1, \\ x < 2. \end{cases} $$ Пересечением числовых промежутков $(-\infty; -1]$ и $(-\infty; 2)$ является промежуток $(-\infty; -1]$, то есть $x \leq -1$. Ответ: $x \leq -1$ (или $x \in (-\infty; -1]$). --- 2) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 7(x + 1) - 2x > 9 - 4x, \\ 3(5 - 2x) - 1 \geq 4 - 5x. \end{cases} $$ Раскроем скобки и упростим каждое неравенство: 1. $7x + 7 - 2x > 9 - 4x$; $5x + 7 > 9 - 4x$; $5x + 4x > 9 - 7$; $9x > 2$; $x > \frac{2}{9}$. 2. $15 - 6x - 1 \geq 4 - 5x$; $14 - 6x \geq 4 - 5x$; $-6x + 5x \geq 4 - 14$; $-x \geq -10$; $x \leq 10$. Получаем систему: $$ \begin{cases} x > \frac{2}{9}, \\ x \leq 10. \end{cases} $$ Найдём пересечение решений: $\frac{2}{9} < x \leq 10$. Ответ: $\frac{2}{9} < x \leq 10$ (или $x \in \left(\frac{2}{9}; 10\right]$). --- 3) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 12x - 3(x + 2) \geq 7x - 5, \\ 13x + 6 \leq (x - 5) \cdot 2 + 3. \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $12x - 3x - 6 \geq 7x - 5$; $9x - 6 \geq 7x - 5$; $9x - 7x \geq -5 + 6$; $2x \geq 1$; $x \geq 0{,}5$. Решим второе неравенство: $13x + 6 \leq 2x - 10 + 3$; $13x + 6 \leq 2x - 7$; $13x - 2x \leq -7 - 6$; $11x \leq -13$; $x \leq -\frac{13}{11}$; $x \leq -1\frac{2}{11}$. Получаем систему: $$ \begin{cases} x \geq 0{,}5, \\ x \leq -1\frac{2}{11}. \end{cases} $$ Числовые промежутки $[0{,}5; +\infty)$ и $\left(-\infty; -1\frac{2}{11}\right]$ не пересекаются, так как $-1\frac{2}{11} < 0{,}5$. Следовательно, система не имеет решений. Ответ: решений нет. --- 4) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{4x - 5}{7} < \frac{3x - 8}{4}, \\ \frac{6 - x}{5} - 1 < \frac{14x - 3}{2}. \end{cases} $$ 1. Умножим обе части первого неравенства на наименьший общий знаменатель $28 > 0$: $4(4x - 5) < 7(3x - 8)$; $16x - 20 < 21x - 56$; $16x - 21x < -56 + 20$; $-5x < -36$; Разделим обе части на $-5$, изменив знак неравенства: $x > 7{,}2$. 2. Умножим обе части второго неравенства на наименьший общий знаменатель $10 > 0$: $2(6 - x) - 10 < 5(14x - 3)$; $12 - 2x - 10 < 70x - 15$; $2 - 2x < 70x - 15$; $-2x - 70x < -15 - 2$; $-72x < -17$; Разделим обе части на $-72$, изменив знак неравенства: $x > \frac{17}{72}$. Получаем систему: $$ \begin{cases} x > 7{,}2, \\ x > \frac{17}{72}. \end{cases} $$ Так как $7{,}2 > \frac{17}{72}$ (поскольку $7{,}2 > 1$, а $\frac{17}{72} < 1$), общим решением является большее ограничение: $x > 7{,}2$. Ответ: $x > 7{,}2$ (или $x \in (7{,}2; +\infty)$).