ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 648

**Доказательство:** 1. Точка $A(x_0; y_0)$ лежит на параболе $y = ax^2$ (где $a \neq 0$). Значит, её координаты удовлетворяют уравнению параболы: $$ y_0 = ax_0^2 $$ 2. Прямая проходит через точки $A(x_0; y_0)$ и $B\left(\frac{x_0}{2}; 0\right)$. Рассмотрим два случая: **Случай 1:** $x_0 = 0$. Если $x_0 = 0$, то $y_0 = a \cdot 0^2 = 0$. Точки $A$ и $B$ совпадают с началом координат $(0; 0)$. Условие задания предполагает существование единственной прямой, проходящей через эти точки, поэтому две заданные точки должны быть различными, то есть $x_0 \neq 0$. **Случай 2:** $x_0 \neq 0$. Найдём уравнение прямой $y = kx + b$, проходящей через точки $A(x_0; ax_0^2)$ и $B\left(\frac{x_0}{2}; 0\right)$. Угловой коэффициент прямой равен: $$ k = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{ax_0^2 - 0}{x_0 - \frac{x_0}{2}} = \frac{ax_0^2}{\frac{x_0}{2}} = 2ax_0 $$ Подставим точку $B\left(\frac{x_0}{2}; 0\right)$ в уравнение прямой для нахождения $b$: $$ 0 = k \cdot \frac{x_0}{2} + b $$ $$ b = -k \cdot \frac{x_0}{2} = -(2ax_0) \cdot \frac{x_0}{2} = -ax_0^2 $$ Таким образом, уравнение прямой имеет вид: $$ y = 2ax_0x - ax_0^2 $$ 3. Чтобы найти общие точки параболы и прямой, составим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = ax^2 \\ y = 2ax_0x - ax_0^2 \end{cases} $$ Приравняем правые части уравнений: $$ ax^2 = 2ax_0x - ax_0^2 $$ Перенесём все члены уравнения в левую часть: $$ ax^2 - 2ax_0x + ax_0^2 = 0 $$ Так как $a \neq 0$, разделим обе части уравнения на $a$: $$ x^2 - 2x_0x + x_0^2 = 0 $$ Свернём левую часть по формуле квадрата разности: $$ (x - x_0)^2 = 0 $$ Отсюда получаем единственный корень: $$ x = x_0 $$ Так как уравнение имеет единственное решение относительно $x$, существует только одно значение $y$: $$ y = ax_0^2 = y_0 $$ Следовательно, данная прямая имеет с параболой $y = ax^2$ только одну общую точку — точку $(x_0; y_0)$ (то есть прямая является касательной к параболе в этой точке). Что и требовалось доказать.