ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 645

1) Чтобы найти значения $x$, при которых значения функций равны, приравняем их формулы: $$ x^2 + 3x + 2 = |7 - x| $$ Раскроем знак модуля по определению: **Случай 1:** $7 - x \ge 0$, то есть $x \le 7$. Тогда $|7 - x| = 7 - x$. Получаем уравнение: $$ x^2 + 3x + 2 = 7 - x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ x^2 + 4x - 5 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4\\ x_1 \cdot x_2 = -5 \end{cases} $$ Отсюда: $x_1 = 1$, $x_2 = -5$. Оба корня удовлетворяют условию $x \le 7$. **Случай 2:** $7 - x < 0$, то есть $x > 7$. Тогда $|7 - x| = -(7 - x) = x - 7$. Получаем уравнение: $$ x^2 + 3x + 2 = x - 7 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ x^2 + 2x + 9 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 - 36 = -32 $$ Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет. Ответ: при $x = -5$ и $x = 1$. --- 2) Приравняем значения функций: $$ 3x^2 - 6x + 3 = |3x - 3| $$ Преобразуем левую и правую части уравнения: левая часть: $3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2$; правая часть: $|3x - 3| = |3(x - 1)| = 3|x - 1|$. Получаем: $$ 3(x - 1)^2 = 3|x - 1| $$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$ (x - 1)^2 = |x - 1| $$ Так как $(x - 1)^2 = |x - 1|^2$, перенесём слагаемое в левую часть: $$ |x - 1|^2 - |x - 1| = 0 $$ Вынесем общий множитель $|x - 1|$ за скобки: $$ |x - 1|(|x - 1| - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $|x - 1| = 0$ $x - 1 = 0 \implies x = 1$. 2) $|x - 1| - 1 = 0$ $|x - 1| = 1$ $x - 1 = 1$ или $x - 1 = -1$ $x = 2$ или $x = 0$. Ответ: при $x = 0$, $x = 1$, $x = 2$.