ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 646

**1)** Найдем коэффициенты $a$, $b$ и $c$ параболы $y = ax^2 + bx + c$. Так как парабола проходит через точку $(0; 0)$, подставим ее координаты в уравнение: $$ 0 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \implies c = 0 $$ Уравнение принимает вид $y = ax^2 + bx$. Подставим координаты точек $(2; 0)$ и $(3; 3)$: $$ \begin{cases} a \cdot 2^2 + b \cdot 2 = 0 \\ a \cdot 3^2 + b \cdot 3 = 3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 4a + 2b = 0 \\ 9a + 3b = 3 \end{cases} $$ Разделим первое уравнение на 2, а второе — на 3: $$ \begin{cases} 2a + b = 0 \\ 3a + b = 1 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $b = -2a$ и подставим во второе: $$ 3a + (-2a) = 1 \implies a = 1 $$ Тогда $b = -2 \cdot 1 = -2$. Уравнение параболы: $y = x^2 - 2x$. Для построения графика найдем координаты вершины $(x_0; y_0)$: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 $$ $$ y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1 $$ Вершина параболы — точка $(1; -1)$. Ветви направлены вверх, так как $a = 1 > 0$. Ось симметрии — прямая $x = 1$. Составим таблицу значений: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :-: | :--: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ | Построение: отмечаем на координатной плоскости вершину $(1; -1)$ и точки $(-1; 3)$, $(0; 0)$, $(2; 0)$, $(3; 3)$, затем соединяем их плавной линией. --- **2)** Найдем уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$. Так как точка $(1; 3)$ является вершиной параболы, используем формулу квадратичной функции через координаты вершины $(x_0; y_0)$: $$ y = a(x - x_0)^2 + y_0 $$ Подставим $x_0 = 1$ и $y_0 = 3$: $$ y = a(x - 1)^2 + 3 $$ Парабола проходит через точку $(-1; 7)$. Подставим ее координаты: $$ 7 = a(-1 - 1)^2 + 3 $$ $$ 7 = 4a + 3 $$ $$ 4a = 4 \implies a = 1 $$ Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: $$ y = 1 \cdot (x - 1)^2 + 3 = x^2 - 2x + 1 + 3 = x^2 - 2x + 4 $$ Коэффициенты: $a = 1$, $b = -2$, $c = 4$. Для построения графика: Вершина параболы — точка $(1; 3)$. Ветви направлены вверх, так как $a = 1 > 0$. Ось симметрии — прямая $x = 1$. Составим таблицу значений: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :-: | :--: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $7$ | $4$ | $3$ | $4$ | $7$ | Построение: отмечаем на координатной плоскости вершину $(1; 3)$ и точки $(-1; 7)$, $(0; 4)$, $(2; 4)$, $(3; 7)$, затем соединяем их плавной линией. --- **3)** Найдем уравнение функции $y = ax^2 + bx + c$. Числа $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$ — нули функции. Разложим квадратный трехчлен на множители: $$ y = a(x - 1)(x - 3) $$ Так как функция принимает наибольшее значение, ветви параболы направлены вниз ($a < 0$), а наибольшее значение достигается в вершине. Абсцисса вершины параболы лежит посередине между нулями: $$ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 $$ Ордината вершины равна наибольшему значению функции, то есть $y_0 = 2$. Вершина параболы — точка $(2; 2)$. Подставим координаты вершины в уравнение для нахождения $a$: $$ 2 = a(2 - 1)(2 - 3) $$ $$ 2 = a \cdot 1 \cdot (-1) $$ $$ -a = 2 \implies a = -2 $$ Запишем уравнение в стандартном виде: $$ y = -2(x - 1)(x - 3) = -2(x^2 - 4x + 3) = -2x^2 + 8x - 6 $$ Коэффициенты: $a = -2$, $b = 8$, $c = -6$. Для построения графика: Вершина параболы — точка $(2; 2)$. Ветви направлены вниз, так как $a = -2 < 0$. Ось симметрии — прямая $x = 2$. Составим таблицу значений: | $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | | :-: | :--: | :-: | :-: | :-: | :-: | | $y$ | $-6$ | $0$ | $2$ | $0$ | $-6$ | Построение: отмечаем на координатной плоскости вершину $(2; 2)$ и точки $(0; -6)$, $(1; 0)$, $(3; 0)$, $(4; -6)$, затем соединяем их плавной линией.