ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 644

1) Точки пересечения параболы с осью абсцисс имеют координаты $(2; 0)$ и $(3; 0)$. Подставим координаты этих точек в уравнение параболы $y = x^2 + px + q$: $$ \begin{cases} 2^2 + 2p + q = 0, \\ 3^2 + 3p + q = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2p + q = -4, \\ 3p + q = -9 \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (3p - 2p) + (q - q) = -9 - (-4) $$ $$ p = -5 $$ Подставим найденное значение $p$ в первое уравнение: $$ 2 \cdot (-5) + q = -4 $$ $$ -10 + q = -4 $$ $$ q = 6 $$ *(Также можно было воспользоваться теоремой Виета: так как $x = 2$ и $x = 3$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$, то $p = -(x_1 + x_2) = -(2 + 3) = -5$, а $q = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 3 = 6$.)* Итог: $p = -5$, $q = 6$. --- 2) Парабола пересекает ось абсцисс в точке $(1; 0)$ и ось ординат в точке $(0; 3)$. Подставим координаты точки $(0; 3)$ в уравнение $y = x^2 + px + q$: $$ 3 = 0^2 + p \cdot 0 + q \implies q = 3 $$ Подставим координаты точки $(1; 0)$ и найденное значение $q = 3$ в уравнение параболы: $$ 0 = 1^2 + p \cdot 1 + 3 $$ $$ 1 + p + 3 = 0 $$ $$ p + 4 = 0 $$ $$ p = -4 $$ Итог: $p = -4$, $q = 3$. --- 3) Если парабола касается оси абсцисс в точке $x = 2$, то эта точка является вершиной параболы, и её координаты — $(2; 0)$. Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\dfrac{p}{2}$: $$ -\frac{p}{2} = 2 \implies p = -4 $$ Так как парабола проходит через точку $(2; 0)$, подставим её координаты и значение $p = -4$ в уравнение параболы: $$ 0 = 2^2 + (-4) \cdot 2 + q $$ $$ 4 - 8 + q = 0 $$ $$ -4 + q = 0 $$ $$ q = 4 $$ *(Действительно, при $p = -4$ и $q = 4$ уравнение параболы принимает вид $y = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$, график касается оси абсцисс в точке $(2; 0)$).* Итог: $p = -4$, $q = 4$. --- Ответ: 1) $p = -5$, $q = 6$; 2) $p = -4$, $q = 3$; 3) $p = -4$, $q = 4$.