ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 642

Пусть стороны прямоугольника равны $x$ м и $y$ м. По условию прямоугольник разбит двумя отрезками, параллельными одной из его сторон, на три части. Концы этих отрезков лежат на противоположных сторонах прямоугольника, поэтому длина каждого из отрезков равна длине той стороны, которой они параллельны. Пусть отрезки параллельны стороне длиной $x$ м. Тогда длина каждого отрезка равна $x$ м. Периметр прямоугольника равен: $$ P = 2x + 2y $$ Сумма периметра прямоугольника и длин двух отрезков составляет $1600$ м: $$ 2x + 2y + 2x = 1600 $$ $$ 4x + 2y = 1600 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ 2x + y = 800 $$ Выразим сторону $y$ через $x$: $$ y = 800 - 2x $$ Так как длины сторон должны быть положительными числами, то $x > 0$ и $800 - 2x > 0$, откуда $0 < x < 400$. Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $$ S(x) = x \cdot y = x(800 - 2x) = -2x^2 + 800x $$ Полученная функция $S(x) = -2x^2 + 800x$ является квадратичной, её график — парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ равен $-2 < 0$). Следовательно, наибольшее значение функция принимает в вершине параболы: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{800}{2 \cdot (-2)} = \frac{800}{4} = 200\text{ (м)} $$ Значение $x = 200$ удовлетворяет условию $0 < x < 400$. Найдём вторую сторону прямоугольника: $$ y = 800 - 2 \cdot 200 = 800 - 400 = 400\text{ (м)} $$ Таким образом, площадь прямоугольника будет наибольшей, если его стороны равны $200$ м и $400$ м. Ответ: 200 м и 400 м.