ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 58

1) **Неверно.** Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести контрпример. Пусть $a = -3$, а $b = -1$. Неравенство $a < b$ выполняется: $-3 < -1$. Проверим отношение $\frac{a}{b}$: $$ \frac{a}{b} = \frac{-3}{-1} = 3 $$ Так как $3 > 1$, условие $\frac{a}{b} < 1$ не выполняется. 2) **Неверно.** Приведём контрпример с отрицательными числами. Пусть $a = -4$, а $b = -2$. Проверим отношение $\frac{a}{b}$: $$ \frac{a}{b} = \frac{-4}{-2} = 2 $$ Неравенство $\frac{a}{b} > 1$ выполняется ($2 > 1$). Однако для самих чисел получаем $-4 < -2$, то есть $a < b$, а не $a > b$. 3) **Неверно.** Приведём контрпример, выбрав числа разных знаков. Пусть $a = -1$, а $b = 2$. Проверим условие: $$ \frac{a}{b} = \frac{-1}{2} = -0{,}5 $$ Неравенство $\frac{a}{b} < 1$ верно ($-0{,}5 < 1$). Рассмотрим обратную дробь $\frac{b}{a}$: $$ \frac{b}{a} = \frac{2}{-1} = -2 $$ Число $-2$ меньше $1$, следовательно, неравенство $\frac{b}{a} > 1$ не выполняется. 4) **Верно.** Неравенство $a^2 < 1$ означает, что расстояние от точки $a$ до нуля на числовой прямой меньше $1$, то есть: $$ -1 < a < 1 $$ Так как число $a$ принадлежит интервалу $(-1; 1)$, оно гарантированно меньше $1$ (неравенство $a < 1$ выполняется). 5) **Неверно.** Приведём контрпример. Пусть $a = 1$, а $b = -3$. Неравенство $a > b$ выполняется, так как $1 > -3$. Возведём числа в квадрат: $$ a^2 = 1^2 = 1 $$ $$ b^2 = (-3)^2 = 9 $$ Получаем $1 < 9$, то есть $a^2 < b^2$, а не $a^2 > b^2$. 6) **Неверно.** Рассмотрим случай, когда $b = 0$. Пусть $a = -2$, а $b = 0$. Условие $a < b$ выполняется ($-2 < 0$). Вычислим значения выражений $ab^2$ и $b^3$: $$ ab^2 = -2 \cdot 0^2 = 0 $$ $$ b^3 = 0^3 = 0 $$ Получаем $0 < 0$ — неверное числовое неравенство (на самом деле $ab^2 = b^3$). *(Примечание: утверждение было бы верным только при дополнительном условии $b \neq 0$, так как при $b \neq 0$ множитель $b^2 > 0$, и обе части исходного неравенства $a < b$ можно было бы умножить на положительное число $b^2$ с сохранением знака неравенства).*