ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 56

1) Составим разность левой и правой частей неравенства: $$ \left(a + \frac{1}{a}\right) - (-2) = a + \frac{1}{a} + 2 = \frac{a^2 + 2a + 1}{a} = \frac{(a + 1)^2}{a} $$ По условию $a \neq -1$, значит, $a + 1 \neq 0$, следовательно, числитель $(a + 1)^2 > 0$. Знаменатель по условию $a < 0$. Так как числитель положителен, а знаменатель отрицателен, вся дробь отрицательна: $$ \frac{(a + 1)^2}{a} < 0 $$ Поскольку разность левой и правой частей меньше нуля, то $a + \frac{1}{a} < -2$, что и требовалось доказать. 2) Составим разность левой и правой частей неравенства: $$ \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) - 2 = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \frac{(a - b)^2}{ab} $$ По условию $a \neq b$, значит, $a - b \neq 0$, следовательно, числитель $(a - b)^2 > 0$. Знаменатель по условию $ab > 0$. Так как числитель и знаменатель положительны, вся дробь положительна: $$ \frac{(a - b)^2}{ab} > 0 $$ Поскольку разность больше нуля, то $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$, что и требовалось доказать. 3) Составим разность левой и правой частей неравенства: $$ \left(4y + \frac{1}{y}\right) - 4 = \frac{4y^2 - 4y + 1}{y} = \frac{(2y - 1)^2}{y} $$ По условию $y \neq \frac{1}{2}$, значит, $2y - 1 \neq 0$, следовательно, числитель $(2y - 1)^2 > 0$. Знаменатель по условию $y > 0$. Так как числитель и знаменатель положительны, дробь положительна: $$ \frac{(2y - 1)^2}{y} > 0 $$ Поскольку разность больше нуля, то $4y + \frac{1}{y} > 4$, что и требовалось доказать. 4) Составим разность левой и правой частей неравенства: $$ \left(9x + \frac{1}{x}\right) - (-6) = 9x + \frac{1}{x} + 6 = \frac{9x^2 + 6x + 1}{x} = \frac{(3x + 1)^2}{x} $$ По условию $x \neq -\frac{1}{3}$, значит, $3x + 1 \neq 0$, следовательно, числитель $(3x + 1)^2 > 0$. Знаменатель по условию $x < 0$. Так как числитель положителен, а знаменатель отрицателен, вся дробь отрицательна: $$ \frac{(3x + 1)^2}{x} < 0 $$ Поскольку разность меньше нуля, то $9x + \frac{1}{x} < -6$, что и требовалось доказать.