ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 57

Для доказательства неравенств рассмотрим разность дробей $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$: $$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} $$ По условию $a > b$, значит, $b - a < 0$ (числитель полученной дроби отрицателен). 1) Пусть $ab > 0$. Так как числитель дроби отрицателен ($b - a < 0$), а знаменатель положителен ($ab > 0$), то сама дробь отрицательна: $$ \frac{b - a}{ab} < 0 $$ Следовательно: $$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} < 0 $$ Отсюда получаем: $$ \frac{1}{a} < \frac{1}{b} $$ Что и требовалось доказать. 2) Пусть $ab < 0$. Так как числитель дроби отрицателен ($b - a < 0$) и знаменатель отрицателен ($ab < 0$), то дробь положительна (при делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное): $$ \frac{b - a}{ab} > 0 $$ Следовательно: $$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0 $$ Отсюда получаем: $$ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $$ Что и требовалось доказать.