ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 567

По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 - 7x - 21 = 0$ сумма и произведение его корней $x_1$ и $x_2$ равны: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 7 \\ x_1 x_2 = -21 \end{cases} $$ Дискриминант уравнения $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 49 + 84 = 133 > 0$, следовательно, корни существуют. 1) Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} $$ Подставим значения суммы и произведения корней: $$ \frac{7}{-21} = -\frac{1}{3} $$ 2) Выделим полный квадрат суммы: $$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $$ Подставим значения суммы и произведения корней: $$ x_1^2 + x_2^2 = 7^2 - 2 \cdot (-21) = 49 + 42 = 91 $$ 3) Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} $$ Используя результат пункта 2 ($x_1^2 + x_2^2 = 91$) и значение $x_1 x_2 = -21$, получаем: $$ \frac{91}{-21} = -\frac{91}{21} = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} $$ 4) Представим сумму четвертых степеней через сумму квадратов: $$ x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2)^2 + (x_2^2)^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1 x_2)^2 $$ Подставим найденное значение $x_1^2 + x_2^2 = 91$ и $x_1 x_2 = -21$: $$ x_1^4 + x_2^4 = 91^2 - 2 \cdot (-21)^2 = 8281 - 2 \cdot 441 = 8281 - 882 = 7399 $$ Ответ: 1) $-\frac{1}{3}$; 2) $91$; 3) $-4\frac{1}{3}$; 4) $7399$.