ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 570

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни приведенного квадратного уравнения $x^2 + px - 3 = 0$. По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -p, \\ x_1 \cdot x_2 = -3. \end{cases} $$ Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение: $$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $$ По условию задачи $x_1^2 + x_2^2 = 10$. Подставим известные выражения: $$ 10 = (-p)^2 - 2 \cdot (-3) $$ $$ 10 = p^2 + 6 $$ $$ p^2 = 10 - 6 $$ $$ p^2 = 4 $$ $$ p_1 = 2, \quad p_2 = -2 $$ Проверим существование корней уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = p^2 + 12 $$ Так как $p^2 = 4$, получаем: $$ D = 4 + 12 = 16 > 0 $$ Дискриминант положителен, значит, при $p = \pm 2$ уравнение действительно имеет действительные корни. Ответ: $p = \pm 2$.