ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 474

1) $(x-1)^4 - 5(x-1)^2 + 4 = 0$ Решим уравнение методом введения новой переменной. Пусть $(x-1)^2 = t$, причём $t \ge 0$. Тогда исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения: $$ t^2 - 5t + 4 = 0 $$ Найдем корни с помощью дискриминанта: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $$ $$ t_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ $$ t_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену: 1) При $t = 4$: $$ (x-1)^2 = 4 $$ $$ x - 1 = 2 \quad \text{или} \quad x - 1 = -2 $$ $$ x_1 = 3, \quad x_2 = -1 $$ 2) При $t = 1$: $$ (x-1)^2 = 1 $$ $$ x - 1 = 1 \quad \text{или} \quad x - 1 = -1 $$ $$ x_3 = 2, \quad x_4 = 0 $$ Ответ: $-1;\ 0;\ 2;\ 3$. --- 2) $(x+5)^4 + 8(x+5)^2 - 9 = 0$ Пусть $(x+5)^2 = t$, причём $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 + 8t - 9 = 0 $$ Найдем корни уравнения: $$ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2 $$ $$ t_1 = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9 $$ Так как $t \ge 0$, корень $t_2 = -9$ не подходит (квадрат действительного числа не может быть отрицательным). Выполним обратную замену для $t = 1$: $$ (x+5)^2 = 1 $$ $$ x + 5 = 1 \quad \text{или} \quad x + 5 = -1 $$ $$ x_1 = 1 - 5 = -4 $$ $$ x_2 = -1 - 5 = -6 $$ Ответ: $-6;\ -4$.