ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 462

1) Упростим выражение: $$ \frac{1}{x^2 - 7x + 12} + \frac{1}{x - 3} $$ Разложим знаменатель первой дроби на множители. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 3$, $x_2 = 4$, поэтому: $$ x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 3)(x - 4)$, домножив вторую дробь на $(x - 4)$: $$ \frac{1}{(x - 3)(x - 4)} + \frac{1}{x - 3} = \frac{1 + (x - 4)}{(x - 3)(x - 4)} = \frac{x - 3}{(x - 3)(x - 4)} $$ Сократим дробь на $(x - 3)$: $$ \frac{x - 3}{(x - 3)(x - 4)} = \frac{1}{x - 4} $$ Ответ: $\frac{1}{x - 4}$. 3) Упростим выражение: $$ \frac{7}{5x^2 + 3x - 2} - \frac{5}{5x - 2} $$ Разложим на множители знаменатель первой дроби. Найдем корни квадратного трехчлена $5x^2 + 3x - 2 = 0$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}, \quad x_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 $$ Тогда: $$ 5x^2 + 3x - 2 = 5\left(x - \frac{2}{5}\right)(x + 1) = (5x - 2)(x + 1) $$ Общим знаменателем является $(5x - 2)(x + 1)$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $(x + 1)$: $$ \frac{7}{(5x - 2)(x + 1)} - \frac{5}{5x - 2} = \frac{7 - 5(x + 1)}{(5x - 2)(x + 1)} = \frac{7 - 5x - 5}{(5x - 2)(x + 1)} = \frac{2 - 5x}{(5x - 2)(x + 1)} $$ Вынесем знак «минус» в числителе и сократим дробь на $(5x - 2)$: $$ \frac{-(5x - 2)}{(5x - 2)(x + 1)} = -\frac{1}{x + 1} $$ Ответ: $-\frac{1}{x + 1}$. 4) Упростим выражение: $$ \frac{3}{x^2 + 6x + 9} - \frac{1}{x + 3} $$ Преобразуем знаменатель первой дроби по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$: $$ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 $$ Общий знаменатель равен $(x + 3)^2$. Домножим вторую дробь на $(x + 3)$: $$ \frac{3}{(x + 3)^2} - \frac{1}{x + 3} = \frac{3 - 1 \cdot (x + 3)}{(x + 3)^2} = \frac{3 - x - 3}{(x + 3)^2} = \frac{-x}{(x + 3)^2} = -\frac{x}{(x + 3)^2} $$ Ответ: $-\frac{x}{(x + 3)^2}$. Упростим выражение: $$ \frac{5x + 1}{x^2 + 9x - 10} : \frac{5x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} $$ Разложим на множители числители и знаменатели дробей: 1. Знаменатель первой дроби: корни уравнения $x^2 + 9x - 10 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -10$, значит, $x^2 + 9x - 10 = (x - 1)(x + 10)$. 2. Числитель второй дроби: вынесем общий множитель $x$ за скобки: $5x^2 + x = x(5x + 1)$. 3. Знаменатель второй дроби: свернем по формуле квадрата разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Заменим деление умножением на обратную дробь: $$ \frac{5x + 1}{(x - 1)(x + 10)} \cdot \frac{(x - 1)^2}{x(5x + 1)} $$ Запишем под одной дробной чертой и сократим на $(5x + 1)$ и $(x - 1)$: $$ \frac{(5x + 1)(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 10) \cdot x(5x + 1)} = \frac{x - 1}{x(x + 10)} $$ Ответ: $\frac{x - 1}{x(x + 10)}$.