ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 459

1) $x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$ Уравнение является приведённым квадратным уравнением вида $x^2 + px + q = 0$, где $p = -2\sqrt{3}$, $q = -1$. Воспользуемся формулой корней приведённого квадратного уравнения: $$ x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} $$ Так как $\frac{p}{2} = -\sqrt{3}$, получаем: $$ x = \sqrt{3} \pm \sqrt{(-\sqrt{3})^2 - (-1)} $$ $$ x = \sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 1} $$ $$ x = \sqrt{3} \pm \sqrt{4} $$ $$ x = \sqrt{3} \pm 2 $$ Отсюда: $x_1 = \sqrt{3} - 2$, $x_2 = \sqrt{3} + 2$. Ответ: $\sqrt{3} - 2$; $\sqrt{3} + 2$. --- 2) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$ Здесь $p = -2\sqrt{5}$, $q = 1$. Тогда $\frac{p}{2} = -\sqrt{5}$. Применим формулу корней приведённого квадратного уравнения: $$ x = \sqrt{5} \pm \sqrt{(-\sqrt{5})^2 - 1} $$ $$ x = \sqrt{5} \pm \sqrt{5 - 1} $$ $$ x = \sqrt{5} \pm \sqrt{4} $$ $$ x = \sqrt{5} \pm 2 $$ Отсюда: $x_1 = \sqrt{5} - 2$, $x_2 = \sqrt{5} + 2$. Ответ: $\sqrt{5} - 2$; $\sqrt{5} + 2$. --- 3) $x^2 + \sqrt{2}x - 4 = 0$ Здесь $a = 1$, $b = \sqrt{2}$, $c = -4$. Вычислим дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 2 + 16 = 18 $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{2} $$ Упростим корень: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$. $$ x = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{2} $$ Найдём каждый корень: $$ x_1 = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$ $$ x_2 = \frac{-\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{2} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2} $$ Ответ: $-2\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$. --- 4) $x^2 - 4\sqrt{7}x + 4 = 0$ Здесь $p = -4\sqrt{7}$, $q = 4$. Тогда $\frac{p}{2} = -2\sqrt{7}$. Применим формулу корней: $$ x = -(-2\sqrt{7}) \pm \sqrt{(-2\sqrt{7})^2 - 4} $$ $$ x = 2\sqrt{7} \pm \sqrt{4 \cdot 7 - 4} $$ $$ x = 2\sqrt{7} \pm \sqrt{28 - 4} $$ $$ x = 2\sqrt{7} \pm \sqrt{24} $$ Вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. $$ x = 2\sqrt{7} \pm 2\sqrt{6} $$ Отсюда: $x_1 = 2\sqrt{7} - 2\sqrt{6}$, $x_2 = 2\sqrt{7} + 2\sqrt{6}$. Ответ: $2\sqrt{7} - 2\sqrt{6}$; $2\sqrt{7} + 2\sqrt{6}$.