ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 460

1) $x^3 - 3x^2 + 2x$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x^3 - 3x^2 + 2x = x(x^2 - 3x + 2) $$ Разложим квадратный трёхчлен $x^2 - 3x + 2$ на множители. Для этого найдем его корни, решив квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 $$ $$ x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 $$ Так как $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, получаем: $$ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) $$ Следовательно: $$ x^3 - 3x^2 + 2x = x(x - 1)(x - 2) $$ 2) $x^3 + 4x^2 - 21x$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x^3 + 4x^2 - 21x = x(x^2 + 4x - 21) $$ Разложим квадратный трёхчлен $x^2 + 4x - 21$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 = 10^2 $$ $$ x_1 = \frac{-4 + 10}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-4 - 10}{2} = -7 $$ Значит: $$ x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x - (-7)) = (x - 3)(x + 7) $$ Следовательно: $$ x^3 + 4x^2 - 21x = x(x - 3)(x + 7) $$ 3) $x^3 + 5x^2 - 24x$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x^3 + 5x^2 - 24x = x(x^2 + 5x - 24) $$ Разложим квадратный трёхчлен $x^2 + 5x - 24$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2 $$ $$ x_1 = \frac{-5 + 11}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-5 - 11}{2} = -8 $$ Значит: $$ x^2 + 5x - 24 = (x - 3)(x - (-8)) = (x - 3)(x + 8) $$ Следовательно: $$ x^3 + 5x^2 - 24x = x(x - 3)(x + 8) $$ 4) $x^3 - 9x^2 - 22x$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x^3 - 9x^2 - 22x = x(x^2 - 9x - 22) $$ Разложим квадратный трёхчлен $x^2 - 9x - 22$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 9x - 22 = 0$: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 = 13^2 $$ $$ x_1 = \frac{9 + 13}{2} = 11, \quad x_2 = \frac{9 - 13}{2} = -2 $$ Значит: $$ x^2 - 9x - 22 = (x - 11)(x - (-2)) = (x - 11)(x + 2) $$ Следовательно: $$ x^3 - 9x^2 - 22x = x(x - 11)(x + 2) $$ Ответ: 1) $x(x - 1)(x - 2)$ 2) $x(x - 3)(x + 7)$ 3) $x(x - 3)(x + 8)$ 4) $x(x - 11)(x + 2)$