ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 458

1) $\frac{x^2 + x - 2}{x - 1}$ Разложим квадратный трёхчлен в числителе на множители. Для этого найдём корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$: По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$. Отсюда $x_1 = 1$, $x_2 = -2$. Следовательно, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$. Подставим разложение в дробь и выполним сокращение: $$ \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1} = x + 2 $$ Ответ: $x + 2$. 2) $\frac{x^2 + 4x - 12}{x - 2}$ Разложим трёхчлен в числителе на множители. Найдём корни уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$: По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$, $x_1 \cdot x_2 = -12$. Отсюда $x_1 = 2$, $x_2 = -6$. Следовательно, $x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6)$. Сократим дробь: $$ \frac{x^2 + 4x - 12}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 6)}{x - 2} = x + 6 $$ Ответ: $x + 6$. 3) $\frac{x + 3}{x^2 - 6x - 27}$ Разложим квадратный трёхчлен в знаменателе на множители. Найдём корни уравнения $x^2 - 6x - 27 = 0$: По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 6$, $x_1 \cdot x_2 = -27$. Отсюда $x_1 = -3$, $x_2 = 9$. Следовательно, $x^2 - 6x - 27 = (x + 3)(x - 9)$. Сократим дробь: $$ \frac{x + 3}{x^2 - 6x - 27} = \frac{x + 3}{(x + 3)(x - 9)} = \frac{1}{x - 9} $$ Ответ: $\frac{1}{x - 9}$. 4) $\frac{x - 8}{x^2 - x - 56}$ Разложим трёхчлен в знаменателе на множители. Найдём корни уравнения $x^2 - x - 56 = 0$: По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -56$. Отсюда $x_1 = 8$, $x_2 = -7$. Следовательно, $x^2 - x - 56 = (x - 8)(x + 7)$. Сократим дробь: $$ \frac{x - 8}{x^2 - x - 56} = \frac{x - 8}{(x - 8)(x + 7)} = \frac{1}{x + 7} $$ Ответ: $\frac{1}{x + 7}$. 5) $\frac{2x^2 - 3x - 2}{4x^2 - 1}$ Разложим числитель на множители. Найдём корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $$ $$ x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Тогда числитель раскладывается как: $$ 2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)\left(x + \frac{1}{2}\right) = (x - 2)(2x + 1) $$ Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $$ 4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1) $$ Сократим дробь: $$ \frac{2x^2 - 3x - 2}{4x^2 - 1} = \frac{(x - 2)(2x + 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{x - 2}{2x - 1} $$ Ответ: $\frac{x - 2}{2x - 1}$. 6) $\frac{3x^2 + 8x - 3}{9x^2 - 1}$ Разложим числитель на множители. Найдём корни уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$: $$ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 $$ $$ x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$ $$ x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3 $$ Тогда числитель раскладывается как: $$ 3x^2 + 8x - 3 = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)(x + 3) = (3x - 1)(x + 3) $$ Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $$ 9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1) $$ Сократим дробь: $$ \frac{3x^2 + 8x - 3}{9x^2 - 1} = \frac{(3x - 1)(x + 3)}{(3x - 1)(3x + 1)} = \frac{x + 3}{3x + 1} $$ Ответ: $\frac{x + 3}{3x + 1}$.