ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 36

Составим разность левой и правой частей неравенства: $$ (a^4 + b^4) - (a^3b + ab^3) $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (a^4 - a^3b) + (b^4 - ab^3) = a^3(a - b) - b^3(a - b) $$ Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки: $$ (a - b)(a^3 - b^3) $$ Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$: $$ (a - b)(a - b)(a^2 + ab + b^2) = (a - b)^2(a^2 + ab + b^2) $$ Оценим знак полученного выражения с учётом условий задачи: 1. Так как $a \neq b$, то разность $a - b \neq 0$, следовательно, $(a - b)^2 > 0$. 2. По условию $a > 0$ и $b > 0$, откуда $a^2 > 0$, $b^2 > 0$ и $ab > 0$. Следовательно, их сумма $a^2 + ab + b^2 > 0$. Произведение двух положительных выражений положительно: $$ (a - b)^2(a^2 + ab + b^2) > 0 $$ Значит: $$ a^4 + b^4 - (a^3b + ab^3) > 0 $$ Отсюда следует, что: $$ a^4 + b^4 > a^3b + ab^3 $$ Неравенство доказано.