ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 33

**1)** Докажем неравенство $a(a + b) > ab - 2$. Составим разность между левой и правой частями неравенства: $$ a(a + b) - (ab - 2) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ a^2 + ab - ab + 2 = a^2 + 2 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($a^2 \ge 0$), то: $$ a^2 + 2 \ge 2 > 0 $$ Разность левой и правой частей строго больше нуля при любых значениях $a$ и $b$, следовательно, исходное неравенство $a(a + b) > ab - 2$ верно. **2)** Докажем неравенство $2ab - 1 < b(2a + b)$. Составим разность между правой и левой частями неравенства: $$ b(2a + b) - (2ab - 1) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ 2ab + b^2 - 2ab + 1 = b^2 + 1 $$ Так как $b^2 \ge 0$ при любом значении $b$, то: $$ b^2 + 1 \ge 1 > 0 $$ Поскольку правая часть больше левой на положительное число при любых $a$ и $b$, неравенство $2ab - 1 < b(2a + b)$ доказано. **3)** Докажем неравенство $b(a + 2b) > ab - 3$. Составим разность между левой и правой частями неравенства: $$ b(a + 2b) - (ab - 3) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ ab + 2b^2 - ab + 3 = 2b^2 + 3 $$ Так как $b^2 \ge 0$ для любого $b$, то $2b^2 \ge 0$, а значит: $$ 2b^2 + 3 \ge 3 > 0 $$ Разность левой и правой частей строго положительна, следовательно, неравенство $b(a + 2b) > ab - 3$ верно при любых значениях $a$ и $b$. **4)** Докажем неравенство $3ab - 2 < a(3b + a)$. Составим разность между правой и левой частями неравенства: $$ a(3b + a) - (3ab - 2) $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ 3ab + a^2 - 3ab + 2 = a^2 + 2 $$ Так как $a^2 \ge 0$ при любых значениях $a$, то: $$ a^2 + 2 \ge 2 > 0 $$ Разность правой и левой частей больше нуля при любых $a$ и $b$, следовательно, неравенство $3ab - 2 < a(3b + a)$ верно.