ГДЗ по алгебре 8 класс Колягин упражнение - 37

Для доказательства неравенства составим разность между его левой и правой частями: $$ (a^3 + 1) - (a^2 + a) $$ Сгруппируем слагаемые и разложим разность на множители: $$ (a^3 + 1) - (a^2 + a) = (a + 1)(a^2 - a + 1) - a(a + 1) $$ Вынесем общий множитель $(a + 1)$ за скобки: $$ (a + 1)(a^2 - a + 1 - a) = (a + 1)(a^2 - 2a + 1) $$ Применим формулу квадрата разности: $$ (a + 1)(a^2 - 2a + 1) = (a + 1)(a - 1)^2 $$ Определим знак полученного выражения с учётом условий задачи: 1. Так как по условию $a > -1$, то $a + 1 > 0$. 2. Так как $a \neq 1$, то $a - 1 \neq 0$, а значит, $(a - 1)^2 > 0$ (квадрат любого ненулевого числа строго положителен). Произведение двух положительных множителей является положительным числом, то есть: $$ (a + 1)(a - 1)^2 > 0 $$ Следовательно: $$ (a^3 + 1) - (a^2 + a) > 0 $$ Отсюда получаем: $$ a^3 + 1 > a^2 + a $$ Что и требовалось доказать.