ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 7 - 7.23

**1)** Сравним числа $a^2$ и $\frac{1}{a^2}$. * **При $a > 1$:** Так как основание $a > 1$, то при возведении в квадрат получаем число больше единицы: $$ a^2 > 1 $$ Тогда обратное число будет меньше единицы: $$ \frac{1}{a^2} < 1 $$ Так как число, большее $1$, всегда больше числа, меньшего $1$, то: $$ a^2 > \frac{1}{a^2} $$ *Например, при $a = 2$: $a^2 = 4$, а $\frac{1}{a^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$; $4 > 0{,}25$.* * **При $0 < a < 1$:** Так как число $a$ заключено между $0$ и $1$, его квадрат также положителен и меньше единицы: $$ 0 < a^2 < 1 $$ Деление единицы на положительное число, меньшее единицы, дает число больше единицы: $$ \frac{1}{a^2} > 1 $$ Следовательно: $$ \frac{1}{a^2} > a^2 $$ *Например, при $a = \frac{1}{2}$: $a^2 = \frac{1}{4} = 0{,}25$, а $\frac{1}{a^2} = 4$; $4 > 0{,}25$.* --- **2)** Сравним числа $a^2$ и $a^3$. Для сравнения рассмотрим разность этих выражений: $$ a^3 - a^2 = a^2(a - 1) $$ * **При $a > 1$:** Так как $a > 1$, то $a - 1 > 0$. Квадрат любого отличного от нуля числа положителен: $a^2 > 0$. Произведение двух положительных множителей положительно: $$ a^2(a - 1) > 0 \implies a^3 - a^2 > 0 \implies a^3 > a^2 $$ *Например, при $a = 2$: $a^2 = 4$, а $a^3 = 8$; $8 > 4$.* * **При $a < 1$:** Рассмотрим разность $a^2 - a^3 = a^2(1 - a)$. Так как $a < 1$, множитель $(1 - a) > 0$. - Если $a \neq 0$, то $a^2 > 0$, откуда произведение $a^2(1 - a) > 0$, а значит: $$ a^2 > a^3 $$ *(В частности, при $0 < a < 1$: например, при $a = 0{,}5$ получаем $a^2 = 0{,}25$ и $a^3 = 0{,}125$, откуда $0{,}25 > 0{,}125$; при $a < 0$ квадрат всегда положителен, а куб отрицателен, поэтому положительное число больше отрицательного).* - Если $a = 0$, то $0^2 = 0^3 = 0$ (числа равны). **Ответ:** 1) при $a > 1$ больше $a^2$; при $0 < a < 1$ больше $\frac{1}{a^2}$; 2) при $a > 1$ больше $a^3$; при $a < 1$ (при $a \neq 0$) больше $a^2$ (при $a = 0$ они равны).