ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.98

1) Упростим выражение по действиям: $$ \frac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right) $$ **Действие 1.** Выполним сложение в скобках. Разложим знаменатели дробей на множители с помощью формул разности квадратов и квадрата суммы: * $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$; * $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 = (y + x)^2$. Общим знаменателем является $(y - x)(y + x)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{x^2+2xy+y^2} = \frac{1}{(y-x)(y+x)} + \frac{1}{(y+x)^2} $$ $$ = \frac{y+x}{(y-x)(y+x)^2} + \frac{y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{(y+x) + (y-x)}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2} $$ **Действие 2.** Выполним деление. Заменим деление умножением на взаимно обратную дробь: $$ \frac{4xy}{y^2-x^2} : \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} \cdot \frac{(y-x)(y+x)^2}{2y} $$ Сократим дробь на общие множители $2y$, $(y-x)$ и $(y+x)$: $$ \frac{4xy \cdot (y-x)(y+x)^2}{(y-x)(y+x) \cdot 2y} = 2x(y+x) = 2xy + 2x^2 $$ **Ответ:** $2x(x+y)$ (или $2x^2 + 2xy$). --- 2) Упростим выражение по действиям: $$ \left(\frac{x-2y}{x^2-2xy}-\frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\right)\cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2} $$ **Действие 1.** Сократим первую дробь в скобках, вынеся общий множитель $x$ в знаменателе: $$ \frac{x-2y}{x^2-2xy} = \frac{x-2y}{x(x-2y)} = \frac{1}{x} $$ **Действие 2.** Выполним деление внутри скобок. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)$. Учтем, что квадрат противоположного выражения равен квадрату самого выражения: $(2y - x)^2 = (x - 2y)^2$. $$ \frac{1}{x^2-4y^2} : \frac{x+2y}{(2y-x)^2} = \frac{1}{(x-2y)(x+2y)} \cdot \frac{(x-2y)^2}{x+2y} = \frac{x-2y}{(x+2y)^2} $$ **Действие 3.** Выполним вычитание в скобках: $$ \frac{1}{x} - \frac{x-2y}{(x+2y)^2} $$ Общий знаменатель — $x(x+2y)^2$: $$ \frac{(x+2y)^2 - x(x-2y)}{x(x+2y)^2} = \frac{(x^2 + 4xy + 4y^2) - (x^2 - 2xy)}{x(x+2y)^2} $$ $$ = \frac{x^2 + 4xy + 4y^2 - x^2 + 2xy}{x(x+2y)^2} = \frac{6xy + 4y^2}{x(x+2y)^2} = \frac{2y(3x + 2y)}{x(x+2y)^2} $$ **Действие 4.** Выполним умножение на дробь за скобками: $$ \frac{2y(3x+2y)}{x(x+2y)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2} = \frac{2y(3x+2y)(x+2y)^2}{4y^2 \cdot x(x+2y)^2} $$ Сократим дробь на $(x+2y)^2$ и на $2y$: $$ \frac{3x+2y}{2xy} $$ *(Примечание: если в первой дроби в знаменателе опечатка и вместо знака «$-$» стоит «$+$», то есть $\frac{x-2y}{x^2+2xy}$, то в скобках получается $\frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}$, а окончательный ответ равен $\frac{x-2y}{2xy}$).* **Ответ:** $\frac{3x+2y}{2xy}$.