ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.56

**1)** Упростим выражение: $$ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-a)(b-c)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} $$ Приведем скобки в знаменателях дробей к одинаковым множителям: $(a-b)$, $(b-c)$ и $(a-c)$. Используем свойства знаков: - $b-a = -(a-b)$, поэтому во второй дроби выносим знак «минус» перед дробью; - $c-a = -(a-c)$ и $c-b = -(b-c)$, тогда в третьей дроби: $$ (c-a)(c-b) = (-(a-c)) \cdot (-(b-c)) = (a-c)(b-c) $$ Перепишем исходное выражение: $$ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} - \frac{1}{b(a-b)(b-c)} + \frac{1}{c(a-c)(b-c)} $$ Общим знаменателем является выражение $abc(a-b)(b-c)(a-c)$. Дополнительные множители: - для первой дроби: $bc(b-c)$; - для второй дроби: $ac(a-c)$; - для третьей дроби: $ab(a-b)$. Запишем под одной дробной чертой: $$ \frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{abc(a-b)(b-c)(a-c)} $$ Преобразуем числитель, сгруппировав слагаемые относительно переменной $a$: $$ bc(b-c) - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2 = a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c) $$ Разложим $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$ и вынесем общий множитель $(b-c)$ за скобки: $$ (b-c)\bigl(a^2 - a(b+c) + bc\bigr) = (b-c)(a^2 - ab - ac + bc) $$ Разложим выражение во второй скобке способом группировки: $$ a^2 - ab - ac + bc = a(a-b) - c(a-b) = (a-b)(a-c) $$ Таким образом, числитель равен $(a-b)(b-c)(a-c)$. Подставим полученное разложение в дробь и выполним сокращение: $$ \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{abc(a-b)(b-c)(a-c)} = \frac{1}{abc} $$ **Ответ:** $\frac{1}{abc}$ --- **2)** Упростим выражение: $$ \frac{x^2}{(x-y)(x-u)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-u)} + \frac{u^2}{(u-x)(u-y)} $$ Приведем множители в знаменателях к виду $(x-y)$, $(x-u)$ и $(y-u)$: - $y-x = -(x-y)$, выносим знак «минус» перед второй дробью; - $u-x = -(x-u)$ и $u-y = -(y-u)$, тогда в третьей дроби: $$ (u-x)(u-y) = (-(x-u)) \cdot (-(y-u)) = (x-u)(y-u) $$ Перепишем сумму: $$ \frac{x^2}{(x-y)(x-u)} - \frac{y^2}{(x-y)(y-u)} + \frac{u^2}{(x-u)(y-u)} $$ Общий знаменатель: $(x-y)(x-u)(y-u)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{x^2(y-u) - y^2(x-u) + u^2(x-y)}{(x-y)(x-u)(y-u)} $$ Преобразуем числитель, группируя слагаемые по степеням $x$: $$ x^2(y-u) - xy^2 + y^2u + u^2x - u^2y = x^2(y-u) - x(y^2-u^2) + yu(y-u) $$ Вынесем общий множитель $(y-u)$: $$ (y-u)\bigl(x^2 - x(y+u) + yu\bigr) = (y-u)(x^2 - xy - xu + yu) $$ Разложим выражение во второй скобке способом группировки: $$ x(x-y) - u(x-y) = (x-y)(x-u) $$ Следовательно, числитель равен $(x-y)(x-u)(y-u)$. Подставим разложение числителя в дробь: $$ \frac{(x-y)(x-u)(y-u)}{(x-y)(x-u)(y-u)} = 1 $$ **Ответ:** $1$