ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.55

**1)** Упростим выражение: $$ \frac{1}{(a-b)(b-c)} - \frac{1}{(b-c)(a-c)} - \frac{1}{(c-a)(b-a)} $$ Приведем множители в знаменателях к циклическому виду $(a-b)$, $(b-c)$ и $(c-a)$, используя свойство $y-x = -(x-y)$: * во второй дроби: $a - c = -(c - a)$, поэтому знак перед дробью меняется на противоположный; * в третьей дроби: $b - a = -(a - b)$, поэтому знак перед дробью также меняется на противоположный. Получаем: $$ \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} $$ Общий знаменатель этих дробей равен $(a-b)(b-c)(c-a)$. Дополнительные множители: * для первой дроби: $(c-a)$; * для второй дроби: $(a-b)$; * для третьей дроби: $(b-c)$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{(c-a) + (a-b) + (b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{c - a + a - b + b - c}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0 $$ Ответ: $0$. --- **2)** Упростим выражение: $$ \frac{x-y}{(z-x)(z-y)} - \frac{y-z}{(x-y)(x-z)} + \frac{z-x}{(y-x)(y-z)} $$ Преобразуем знаменатели так, чтобы они состояли из множителей $(x-y)$, $(y-z)$ и $(x-z)$: * в первой дроби: $(z-x)(z-y) = (-(x-z))(-(y-z)) = (x-z)(y-z)$; * во второй дроби знаменатель уже имеет вид $(x-y)(x-z)$; * в третьей дроби: $(y-x)(y-z) = -(x-y)(y-z)$, а в числителе $z-x = -(x-z)$, тогда: $$ \frac{z-x}{(y-x)(y-z)} = \frac{-(x-z)}{-(x-y)(y-z)} = \frac{x-z}{(x-y)(y-z)} $$ Перепишем исходное выражение: $$ \frac{x-y}{(x-z)(y-z)} - \frac{y-z}{(x-y)(x-z)} + \frac{x-z}{(x-y)(y-z)} $$ Общий знаменатель равен $(x-y)(y-z)(x-z)$. Дополнительные множители: * для первой дроби: $(x-y)$; * для второй дроби: $(y-z)$; * для третьей дроби: $(x-z)$. Запишем под одной дробной чертой: $$ \frac{(x-y)^2 - (y-z)^2 + (x-z)^2}{(x-y)(y-z)(x-z)} $$ Раскроем скобки в числителе, применяя формулу квадрата разности: $$ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $$ $$ (y-z)^2 = y^2 - 2yz + z^2 $$ $$ (x-z)^2 = x^2 - 2xz + z^2 $$ Подставим и раскроем знаки: $$ \frac{x^2 - 2xy + y^2 - (y^2 - 2yz + z^2) + x^2 - 2xz + z^2}{(x-y)(y-z)(x-z)} = \frac{x^2 - 2xy + y^2 - y^2 + 2yz - z^2 + x^2 - 2xz + z^2}{(x-y)(y-z)(x-z)} $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ \frac{2x^2 - 2xy - 2xz + 2yz}{(x-y)(y-z)(x-z)} $$ Разложим числитель на множители способом группировки: $$ 2x^2 - 2xy - 2xz + 2yz = 2(x^2 - xy - xz + yz) = 2(x(x-y) - z(x-y)) = 2(x-y)(x-z) $$ Подставим разложение в дробь и выполним сокращение: $$ \frac{2(x-y)(x-z)}{(x-y)(y-z)(x-z)} = \frac{2}{y-z} $$ Ответ: $\frac{2}{y-z}$.