ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.25

1) Докажем равенство: $$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ Преобразуем левую часть равенства. Представим третью степень двучлена как произведение первой и второй степеней: $$ (a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 $$ Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ (a+b)(a^2 + 2ab + b^2) $$ Выполним умножение многочлена на многочлен, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй скобки: $$ a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ В результате преобразования левой части получено выражение, тождественно равное правой части: $$ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ Равенство доказано. --- 2) Докажем равенство: $$ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$ Преобразуем левую часть равенства. Представим куб двучлена в виде произведения: $$ (a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2 $$ Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$ (a-b)(a^2 - 2ab + b^2) $$ Выполним умножение многочлена на многочлен: $$ a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$ Левая часть после преобразований совпадает с правой частью: $$ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$ Равенство доказано.