ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.133

Для доказательства того, что выражение принимает лишь положительные значения при любых действительных значениях переменных, выделим в каждом из них полный квадрат, используя формулы сокращённого умножения: квадрата суммы $(u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$ и квадрата разности $(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$. 1) $a^2 + 2a + 2$ Представим число $2$ в виде суммы $1 + 1$ и выделим квадрат суммы: $$ a^2 + 2a + 2 = (a^2 + 2a + 1) + 1 = (a + 1)^2 + 1 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(a + 1)^2 \ge 0$. Прибавив к обеим частям неравенства $1$, получаем: $$ (a + 1)^2 + 1 \ge 1 > 0 $$ Следовательно, выражение $(a + 1)^2 + 1$ всегда принимает только положительные значения при любых значениях $a$. 2) $x^2 + y^2 - 2xy + 4$ Сгруппируем первые три слагаемых по формуле квадрата разности: $$ x^2 + y^2 - 2xy + 4 = (x^2 - 2xy + y^2) + 4 = (x - y)^2 + 4 $$ Так как $(x - y)^2 \ge 0$ при любых $x$ и $y$, то: $$ (x - y)^2 + 4 \ge 4 > 0 $$ Следовательно, выражение всегда принимает только положительные значения. 3) $4m^2 - 4m + 4$ Представим число $4$ в виде суммы $1 + 3$ и выделим квадрат разности: $$ 4m^2 - 4m + 4 = (4m^2 - 4m + 1) + 3 = (2m - 1)^2 + 3 $$ Так как $(2m - 1)^2 \ge 0$ при любых $m$, то: $$ (2m - 1)^2 + 3 \ge 3 > 0 $$ Следовательно, выражение всегда принимает только положительные значения. 4) $a^2 + b^2 + c^2 - 2bc + 3$ Сгруппируем слагаемые, содержащие переменные $b$ и $c$, и выделим квадрат разности: $$ a^2 + b^2 + c^2 - 2bc + 3 = a^2 + (b^2 - 2bc + c^2) + 3 = a^2 + (b - c)^2 + 3 $$ Так как $a^2 \ge 0$ и $(b - c)^2 \ge 0$ при любых действительных $a$, $b$ и $c$, то сумма неотрицательных выражений и положительного числа $3$ удовлетворяет неравенству: $$ a^2 + (b - c)^2 + 3 \ge 3 > 0 $$ Следовательно, выражение всегда принимает только положительные значения. Все утверждения доказаны.