ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.159

**1)** Найдем $f(0,5) - f(1)$: Вычислим значения функции $f(x) = \frac{1}{x}$: $f(0,5) = \frac{1}{0,5} = 2$ $f(1) = \frac{1}{1} = 1$ Тогда: $$ f(0,5) - f(1) = 2 - 1 = 1 $$ **2)** Найдем $f(1) - f(1,5)$: Вычислим значение функции: $f(1,5) = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$ Тогда: $$ f(1) - f(1,5) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $$ **3)** Найдем $f(1,5) - f(2,5)$: Вычислим значение функции: $f(2,5) = \frac{1}{2,5} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}$ Тогда: $$ f(1,5) - f(2,5) = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{10 - 6}{15} = \frac{4}{15} $$ --- **Доказательство утверждения:** Докажем, что если $x > 0$ (или $x < 0$), то функция $f(x) = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ является убывающей, а при $k < 0$ — возрастающей. Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения аргумента из промежутка $(0; +\infty)$ (или из промежутка $(-\infty; 0)$), такие что: $$ x_1 < x_2 $$ Тогда разность $x_2 - x_1 > 0$. Так как числа $x_1$ и $x_2$ одного знака (оба положительные или оба отрицательные), их произведение всегда положительно: $$ x_1 \cdot x_2 > 0 $$ Рассмотрим разность значений функции: $$ f(x_1) - f(x_2) = \frac{k}{x_1} - \frac{k}{x_2} = \frac{k(x_2 - x_1)}{x_1 x_2} = k \cdot \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} $$ Поскольку $x_2 - x_1 > 0$ и $x_1 x_2 > 0$, дробь $\frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} > 0$. 1. Если $k > 0$, то произведение положительного числа $k$ и положительной дроби положительно: $$ f(x_1) - f(x_2) > 0 \implies f(x_1) > f(x_2) $$ Так как из условия $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) > f(x_2)$, функция $f(x) = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ является **убывающей** при $x > 0$ и при $x < 0$. 2. Если $k < 0$, то произведение отрицательного числа $k$ и положительной дроби отрицательно: $$ f(x_1) - f(x_2) < 0 \implies f(x_1) < f(x_2) $$ Так как из условия $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) < f(x_2)$, функция $f(x) = \frac{k}{x}$ при $k < 0$ является **возрастающей** при $x > 0$ и при $x < 0$. Утверждение доказано. **Ответ:** 1) $1$; 2) $\frac{1}{3}$; 3) $\frac{4}{15}$.