ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 922

**№ 922** **Доказательство:** 1. Преобразуем данное по условию выражение, выделив квадрат разности: $$x^2 + 9xy + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 + 11xy = (x - y)^2 + 11xy$$ Выразим отсюда $(x - y)^2$: $$(x - y)^2 = (x^2 + 9xy + y^2) - 11xy$$ 2. По условию задачи значение выражения $x^2 + 9xy + y^2$ делится на 11. Слагаемое $11xy$ также делится на 11, так как содержит множитель 11 и переменные $x$ и $y$ являются целыми числами. Разность двух чисел, делящихся на 11, также делится на 11, следовательно, выражение $(x - y)^2$ делится на 11. 3. Так как число 11 — простое, а квадрат целого числа $(x - y)^2$ делится на 11, то и само целое число $(x - y)$ делится на 11. 4. Применим формулу разности квадратов к выражению $x^2 - y^2$: $$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$ Так как один из множителей произведения, а именно $(x - y)$, делится на 11, то и всё произведение $(x - y)(x + y)$ делится на 11. Значит, выражение $x^2 - y^2$ делится на 11, что и требовалось доказать.