ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 924

Пусть показатели трёх последовательных степеней числа 2 равны $n$, $n + 1$ и $n + 2$, где $n$ — натуральное число. Запишем сумму этих трёх степеней: $$ S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} $$ Используя свойство степени с натуральным показателем $2^{n+k} = 2^n \cdot 2^k$, представим слагаемые в виде: $$ S = 2^n + 2^n \cdot 2^1 + 2^n \cdot 2^2 $$ Вынесем общий множитель $2^n$ за скобки: $$ S = 2^n (1 + 2^1 + 2^2) $$ Вычислим значение выражения в скобках: $$ 1 + 2 + 4 = 7 $$ Получаем: $$ S = 7 \cdot 2^n $$ Так как один из множителей равен $7$, а число $2^n$ является целым при любом натуральном $n$, то всё произведение делится на $7$. Следовательно, сумма трёх последовательных степеней числа 2 делится на 7, что и требовалось доказать.