ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 923

**№ 923** а) Докажем, что $7^{10} - 7^9 - 7^8$ делится на 41. Вынесем общий множитель $7^8$ за скобки: $$ 7^{10} - 7^9 - 7^8 = 7^8 \cdot (7^2 - 7^1 - 1) $$ Вычислим значение выражения в скобках: $$ 7^2 - 7^1 - 1 = 49 - 7 - 1 = 41 $$ Получаем: $$ 7^{10} - 7^9 - 7^8 = 7^8 \cdot 41 $$ Так как один из множителей делится на 41 (он равен 41), то и всё произведение делится на 41. Утверждение доказано. б) Докажем, что $9^{100} - 9^{99} + 9^{98} - 9^{97}$ делится на 41. Вынесем общий множитель $9^{97}$ за скобки: $$ 9^{100} - 9^{99} + 9^{98} - 9^{97} = 9^{97} \cdot (9^3 - 9^2 + 9^1 - 1) $$ Вычислим значение выражения в скобках (применим группировку): $$ 9^3 - 9^2 + 9^1 - 1 = 9^2 \cdot (9 - 1) + 1 \cdot (9 - 1) = (9 - 1)(9^2 + 1) = 8 \cdot (81 + 1) = 8 \cdot 82 $$ Заметим, что $82 = 2 \cdot 41$, тогда: $$ 8 \cdot 82 = 8 \cdot 2 \cdot 41 = 16 \cdot 41 $$ Получаем: $$ 9^{100} - 9^{99} + 9^{98} - 9^{97} = 9^{97} \cdot 16 \cdot 41 $$ Так как полученное произведение содержит множитель 41, то оно делится на 41. Утверждение доказано.