ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 629

а) Представим выражение $x^{12} - 1$ как разность кубов, так как $x^{12} = (x^4)^3$: $$ x^{12} - 1 = (x^4)^3 - 1^3 $$ Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x^4$, $b = 1$: $$ (x^4)^3 - 1^3 = (x^4 - 1)((x^4)^2 + x^4 \cdot 1 + 1^2) = (x^4 - 1)(x^8 + x^4 + 1) $$ Следовательно: $$ A = x^8 + x^4 + 1 $$ б) Воспользуемся формулой разности шестых степеней для $a = x^2$ и $b = 1$, так как $x^{12} - 1 = (x^2)^6 - 1^6$: $$ a^6 - b^6 = (a + b)(a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5) $$ Подставим $a = x^2$ и $b = 1$: $$ (x^2)^6 - 1 = (x^2 + 1)((x^2)^5 - (x^2)^4 + (x^2)^3 - (x^2)^2 + x^2 - 1) $$ $$ x^{12} - 1 = (x^2 + 1)(x^{10} - x^8 + x^6 - x^4 + x^2 - 1) $$ Следовательно: $$ A = x^{10} - x^8 + x^6 - x^4 + x^2 - 1 $$ в) Представим выражение как разность шестых степеней относительно $x^2$: $$ x^{12} - 1 = (x^2)^6 - 1^6 $$ Используем формулу разности $n$-х степеней $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$ при $n = 6$, $a = x^2$, $b = 1$: $$ (x^2)^6 - 1 = (x^2 - 1)((x^2)^5 + (x^2)^4 + (x^2)^3 + (x^2)^2 + x^2 + 1) $$ $$ x^{12} - 1 = (x^2 - 1)(x^{10} + x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1) $$ Следовательно: $$ A = x^{10} + x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1 $$ г) Так как показатель степени $12$ — чётное число, разложим разность $x^{12} - 1^{12}$ на множители, содержащие $(x + 1)$: $$ x^{12} - 1 = (x + 1)(x^{11} - x^{10} + x^9 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1) $$ Следовательно: $$ A = x^{11} - x^{10} + x^9 - x^8 + x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 $$ д) Применим формулу разности $n$-х степеней при $n = 12$: $$ x^{12} - 1 = (x - 1)(x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) $$ Следовательно: $$ A = x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $$ е) Запишем число $32$ в виде степени: $32 = 2^5$. Применим формулу разности пятых степеней $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$: $$ x^5 - 2^5 = (x - 2)(x^4 + x^3 \cdot 2 + x^2 \cdot 2^2 + x \cdot 2^3 + 2^4) $$ $$ x^5 - 32 = (x - 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16) $$ Следовательно: $$ A = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16 $$ ж) Запишем число $64$ в виде степени: $64 = 2^6$. Применим формулу разности шестых степеней: $$ x^6 - 2^6 = (x - 2)(x^5 + x^4 \cdot 2 + x^3 \cdot 2^2 + x^2 \cdot 2^3 + x \cdot 2^4 + 2^5) $$ $$ x^6 - 64 = (x - 2)(x^5 + 2x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 16x + 32) $$ Следовательно: $$ A = x^5 + 2x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 16x + 32 $$ з) Запишем число $128$ в виде степени: $128 = 2^7$. Применим формулу разности седьмых степеней: $$ x^7 - 2^7 = (x - 2)(x^6 + x^5 \cdot 2 + x^4 \cdot 2^2 + x^3 \cdot 2^3 + x^2 \cdot 2^4 + x \cdot 2^5 + 2^6) $$ $$ x^7 - 128 = (x - 2)(x^6 + 2x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 32x + 64) $$ Следовательно: $$ A = x^6 + 2x^5 + 4x^4 + 8x^3 + 16x^2 + 32x + 64 $$