ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 632

а) **История арифметического треугольника и его свойства** 1. **Первые упоминания:** * **Древняя Индия:** первые упоминания таблицы, аналогичной арифметическому треугольнику, относятся ко II веку до н. э. (трактат математика Пингалы по стихосложению). В X веке индийский учёный Халаюдха в комментариях к этому трактату подробно описал способ построения числовой таблицы, названной «лестницей горы Меру». * **Иран и страны Востока:** в X–XI веках свойства таблицы исследовали исламские математики аль-Караджи и Омар Хайям, которые использовали её для извлечения корней произвольной степени. * **Китай:** в первой половине XI века математик Цзя Сянь описал метод нахождения биномиальных коэффициентов, а в XIII веке учёный Ян Хуэй опубликовал эту числовую таблицу в своём трактате. 2. **Названия в разных странах:** * В Иране арифметический треугольник называют **треугольником Хайяма** (или треугольником Хайяма — Паскаля). * В Китае его называют **треугольником Ян Хуэя** (или таблицей Цзя Сяня). 3. **Свойства чисел треугольника Паскаля:** * **Симметричность:** числа в каждой строке симметричны относительно её середины (число, стоящее на $k$-м месте от начала, равно числу, стоящему на $k$-м месте от конца). * **Сумма чисел в строке:** сумма всех чисел $n$-й строки (если считать верхнюю строку с единственной единицей нулевой) равна $2^n$: для строки $0$: $1 = 2^0$; для строки $1$: $1 + 1 = 2 = 2^1$; для строки $2$: $1 + 2 + 1 = 4 = 2^2$; для строки $3$: $1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3$ и так далее. * **Чётные и нечётные места:** в любой строке (начиная с первой) сумма чисел, стоящих на нечётных местах, равна сумме чисел, стоящих на чётных местах. Соответственно, знакопеременная сумма чисел строки равна нулю: $$1 - 3 + 3 - 1 = 0$$ * **Свойство простого числа:** если номер строки $p$ является простым числом, то все числа этой строки, кроме крайних единиц, делятся на $p$ без остатка (например, в строке с номером $5$: числа $5, 10, 10, 5$ делятся на $5$). * **Связь с фигурными числами:** по диагоналям треугольника располагаются особые числовые последовательности: * первая диагональ — единицы ($1, 1, 1, 1, \dots$); * вторая диагональ — натуральные числа ($1, 2, 3, 4, \dots$); * третья диагональ — треугольные числа ($1, 3, 6, 10, 15, \dots$). * **Связь с числами Фибоначчи:** если суммировать числа треугольника вдоль пологих диагоналей, получаются числа ряда Фибоначчи: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ --- б) **Сообщение об И. Ньютоне и его «Всеобщей арифметике»** **Исаак Ньютон (1643–1727)** — выдающийся английский учёный, математик, физик и астроном, один из создателей классической физики и математического анализа. В 1707 году на латинском языке была издана его книга **«Всеобщая арифметика»** (*Arithmetica Universalis*), составленная на основе лекций, которые Ньютон читал студентам Кембриджского университета. **Основная идея книги:** Под «всеобщей арифметикой» Ньютон понимал **алгебру**. Он объяснял, что обычная арифметика оперирует конкретными числами, а алгебра («всеобщая арифметика») исследует общие законы с помощью буквенных обозначений и уравнений. **Особенности и задачи «Всеобщей арифметики»:** 1. **Перевод задач на математический язык:** Ньютон подчеркивал, что решение любой задачи сводится к переводу её условий с естественного языка на язык алгебраических уравнений. 2. **Разнообразие тем:** в книге рассмотрены правила действий с положительными и отрицательными числами, дробями, корнями, решение уравнений первой, второй и высших степеней, а также геометрические приложения алгебры. 3. **Знаменитые текстовые задачи:** * В трактате приведено множество занимательных практических задач на совместную работу, смешивание жидкостей и сплавов. * Всемирную известность получила **задача о быках и траве**: сколько быков смогут пастись на лугу определённое время, если трава растёт с постоянной скоростью. Эта задача учит учитывать сразу несколько изменяющихся величин. Труд Ньютона стал важнейшим учебным пособием XVIII века и заложил основы преподавания школьного курса алгебры.