ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 626

а) Разложим многочлены $A$ и $B$ на множители способом группировки. Для многочлена $A$: $$ A = x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = (x^3 - 1) - (2x^2 - 2x) $$ Применим формулу разности кубов к первой группе и вынесем общий множитель $2x$ из второй: $$ A = (x - 1)(x^2 + x + 1) - 2x(x - 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1 - 2x) = (x - 1)(x^2 - x + 1) $$ Для многочлена $B$: $$ B = x^3 - 2x^2 + 1 = x^3 - x^2 - x^2 + 1 = x^2(x - 1) - (x^2 - 1) $$ Разложим разность квадратов: $$ B = x^2(x - 1) - (x - 1)(x + 1) = (x - 1)(x^2 - (x + 1)) = (x - 1)(x^2 - x - 1) $$ Многочлены $x^2 - x + 1$ и $x^2 - x - 1$ не имеют общих множителей, так как их разность равна $(x^2 - x + 1) - (x^2 - x - 1) = 2 \neq 0$. Следовательно, общим множителем является $x - 1$. Ответ: $\text{НОД}(A, B) = x - 1$. --- б) Разложим многочлены $A$ и $B$ на множители. Многочлен $A$ разложен в пункте а): $$ A = (x - 1)(x^2 - x + 1) $$ Многочлен $B$ разложим по формуле разности кубов: $$ B = x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $$ Многочлены $x^2 - x + 1$ и $x^2 + x + 1$ не имеют общих делителей (их разность равна $2x$, но при $x = 0$ оба многочлена равны $1 \neq 0$). Следовательно, наибольший общий делитель равен $x - 1$. Ответ: $\text{НОД}(A, B) = x - 1$. --- в) Вынесем общий множитель $x$ за скобки в каждом многочлене и выполним группировку. Для многочлена $A$: $$ A = x(x^4 - x^3 - x^2 + 2x - 1) $$ Заметим, что $-x^2 + 2x - 1 = -(x^2 - 2x + 1) = -(x - 1)^2$. Тогда: $$ A = x(x^3(x - 1) - (x - 1)^2) = x(x - 1)(x^3 - (x - 1)) = x(x - 1)(x^3 - x + 1) $$ Для многочлена $B$: $$ B = x(x^4 - x^3 + x^2 - 1) = x(x^3(x - 1) + (x^2 - 1)) $$ Разложим $x^2 - 1$ на множители: $$ B = x(x^3(x - 1) + (x - 1)(x + 1)) = x(x - 1)(x^3 + x + 1) $$ Многочлены $x^3 - x + 1$ и $x^3 + x + 1$ не имеют общих делителей (их разность равна $2x$, но при $x = 0$ ни один из них не равен нулю). Таким образом, общий множитель равен $x(x - 1)$. Ответ: $\text{НОД}(A, B) = x(x - 1) = x^2 - x$. --- г) Разложим многочлен $B$ на множители: $$ B = x^2 - 4x + 3 = x^2 - x - 3x + 3 = x(x - 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x - 3) $$ Для многочлена $A$ вынесем $x$ за скобки: $$ A = x(x^3 - 5x^2 + 7x - 3) $$ Сгруппируем слагаемые в скобках: $$ x^3 - 5x^2 + 7x - 3 = (x^3 - 3x^2) - (2x^2 - 6x) + (x - 3) = x^2(x - 3) - 2x(x - 3) + (x - 3) $$ $$ = (x - 3)(x^2 - 2x + 1) = (x - 3)(x - 1)^2 $$ Тогда многочлен $A$ принимает вид: $$ A = x(x - 1)^2(x - 3) $$ Многочлен $B = (x - 1)(x - 3)$ целиком входит в разложение многочлена $A$. Ответ: $\text{НОД}(A, B) = (x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$.