ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 631

**а)** Коэффициенты разложения двучлена $(a + b)^n$ находятся в строках треугольника Паскаля. Построим строки треугольника Паскаля до $7$-й строки включительно: - Строка 0: $1$ - Строка 1: $1 \quad 1$ - Строка 2: $1 \quad 2 \quad 1$ - Строка 3: $1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$ - Строка 4: $1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$ - Строка 5: $1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1$ - Строка 6: $1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1$ - Строка 7: $1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1$ Используя числа 6-й строки в качестве коэффициентов, запишем шестую степень двучлена $(a + b)$ в стандартном виде (по убыванию степеней $a$ и возрастанию степеней $b$): $$ (a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6 $$ Используя числа 7-й строки в качестве коэффициентов, запишем седьмую степень двучлена $(a + b)$ в стандартном виде: $$ (a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7 $$ --- **б)** Числа $n$-й строки треугольника Паскаля являются коэффициентами разложения $(a + b)^n$. Если подставить $a = 1$ и $b = 1$, то сумма коэффициентов будет равна $(1 + 1)^n = 2^n$. Выполним проверку для каждого значения $n$ от $1$ до $10$: 1. При $n = 1$ (числа строки: $1, 1$): $$1 + 1 = 2 = 2^1$$ 2. При $n = 2$ (числа строки: $1, 2, 1$): $$1 + 2 + 1 = 4 = 2^2$$ 3. При $n = 3$ (числа строки: $1, 3, 3, 1$): $$1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3$$ 4. При $n = 4$ (числа строки: $1, 4, 6, 4, 1$): $$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$$ 5. При $n = 5$ (числа строки: $1, 5, 10, 10, 5, 1$): $$1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$$ 6. При $n = 6$ (числа строки: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$): $$1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 2^6$$ 7. При $n = 7$ (числа строки: $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$): $$1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128 = 2^7$$ 8. При $n = 8$ (числа строки: $1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$): $$1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 = 2^8$$ 9. При $n = 9$ (числа строки: $1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1$): $$1 + 9 + 36 + 84 + 126 + 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 512 = 2^9$$ 10. При $n = 10$ (числа строки: $1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1$): $$1 + 10 + 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 1024 = 2^{10}$$ Во всех случаях сумма чисел $n$-й строки действительно равна $2^n$.