ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1595

Пусть искомое двузначное число в десятичной системе счисления имеет вид $\overline{ab}_{10}$. Тогда его значение равно $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, $b$ — цифра единиц. По условию задачи в четверичной системе счисления это же число записывается теми же цифрами, но в обратном порядке, то есть имеет вид $\overline{ba}_{4}$. В четверичной системе счисления используются только цифры $0, 1, 2, 3$. Так как число является двузначным в обеих системах, первая цифра не может быть нулём. Следовательно: $a \in \{1, 2, 3\}$ и $b \in \{1, 2, 3\}$. Запишем значение числа в четверичной системе счисления: $$4 \cdot b + a$$ Поскольку обе записи задают одно и то же число, составим уравнение: $$10a + b = 4b + a$$ Упростим уравнение, сгруппировав слагаемые: $$10a - a = 4b - b$$ $$9a = 3b$$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$3a = b$$ Так как $a$ и $b$ могут принимать только значения $1, 2, 3$, подберём подходящие цифры: - при $a = 1$ получаем $b = 3 \cdot 1 = 3$; - при $a \ge 2$ значение $b \ge 6$, что невозможно, так как $b \le 3$. Таким образом, условию удовлетворяет единственная пара цифр: $a = 1$, $b = 3$. Искомое число: $$10 \cdot 1 + 3 = 13$$ Проверка: - в десятичной системе счисления число равно $13$; - переведём число $13$ в систему счисления с основанием $4$: $13 = 3 \cdot 4^1 + 1 \cdot 4^0 = 31_4$. Числа $13$ и $31_4$ состоят из одних и тех же цифр, записанных в обратном порядке. Ответ: 13.