ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1598

При делении целого числа на $6$ возможны только $6$ различных остатков: $0, 1, 2, 3, 4, 5$. По условию дано $7$ целых чисел. По принципу Дирихле, если распределить $7$ чисел по $6$ возможным остаткам от деления на $6$, то по крайней мере два числа будут иметь одинаковый остаток. Пусть эти числа равны $a$ и $b$, и они дают одинаковый остаток $r$ при делении на $6$, где $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. Тогда их можно записать в виде: $$ a = 6k + r $$ $$ b = 6m + r $$ где $k$ и $m$ — некоторые целые числа. Рассмотрим разность этих двух чисел: $$ a - b = (6k + r) - (6m + r) = 6k - 6m = 6(k - m) $$ Так как $k$ и $m$ — целые числа, разность $(k - m)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $6(k - m)$ делится на $6$ без остатка, то есть разность $(a - b)$ делится на $6$. Что и требовалось доказать.