ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1590

По определению составного числа, если $m$ — составное натуральное число, то его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, каждое из которых больше $1$: $$ m = a \cdot b, \quad \text{где } a \in \mathbb{N}, \; b \in \mathbb{N}, \; a > 1, \; b > 1 $$ Подставим это выражение в показатель степени: $$ 2^m - 1 = 2^{a \cdot b} - 1 = (2^a)^b - 1 $$ Воспользуемся формулой разложения разности $n$-х степеней $x^n - 1 = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1)$ при $x = 2^a$ и $n = b$: $$ (2^a)^b - 1 = (2^a - 1)\bigl((2^a)^{b-1} + (2^a)^{b-2} + \ldots + 2^a + 1\bigr) $$ Оценим полученные множители: 1. Так как $a > 1$, то $a \ge 2$, следовательно, $2^a \ge 2^2 = 4$. Тогда первый множитель: $$ 2^a - 1 \ge 4 - 1 = 3 > 1 $$ 2. Так как $b > 1$, то $b \ge 2$. Выражение во второй скобке состоит как минимум из двух положительных целых слагаемых, причём последнее слагаемое равно $1$, а предшествующие строго больше $1$. Значит: $$ (2^a)^{b-1} + (2^a)^{b-2} + \ldots + 2^a + 1 > 1 $$ Таким образом, число $2^m - 1$ разложено на произведение двух натуральных множителей, каждый из которых строго больше $1$. Следовательно, число $2^m - 1$ является составным, что и требовалось доказать.