ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1588

Рассмотрим возможные остатки простого числа $p$ при делении на 6. Любое натуральное число при делении на 6 можно представить в одном из следующих видов (где $k$ — целое неотрицательное число): * $6k$ — делится на 6 (и на 2, и на 3); * $6k + 1$; * $6k + 2 = 2(3k + 1)$ — делится на 2; * $6k + 3 = 3(2k + 1)$ — делится на 3; * $6k + 4 = 2(3k + 2)$ — делится на 2; * $6k + 5$. По условию, $p$ — простое число и $p \ge 5$. Значит, $p$ не может делиться ни на 2, ни на 3. Следовательно, число $p$ может иметь только вид $p = 6k + 1$ или $p = 6k + 5$. Рассмотрим оба возможных случая: 1. Если $p = 6k + 1$, то возведём его в квадрат: $$p^2 = (6k + 1)^2 = 36k^2 + 12k + 1 = 12(3k^2 + k) + 1$$ Так как $k$ — целое число, то выражение $3k^2 + k$ также является целым числом. Значит, число $p^2$ можно записать в виде $12m + 1$, где $m = 3k^2 + k$. Это означает, что при делении на 12 получается остаток 1. 2. Если $p = 6k + 5$, то возведём его в квадрат: $$p^2 = (6k + 5)^2 = 36k^2 + 60k + 25$$ Представим число 25 как $24 + 1$: $$p^2 = 36k^2 + 60k + 24 + 1 = 12(3k^2 + 5k + 2) + 1$$ Так как $k$ — целое число, выражение $3k^2 + 5k + 2$ является целым числом. Значит, число $p^2$ имеет вид $12n + 1$, где $n = 3k^2 + 5k + 2$, то есть при делении на 12 также даёт остаток 1. В обоих случаях остаток от деления $p^2$ на 12 равен 1, что и требовалось доказать.