ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1589

Пусть $a$ и $b$ — целые числа, разность квадратов которых равна простому числу $p$: $$ a^2 - b^2 = p $$ Поскольку квадраты противоположных чисел равны ($(-a)^2 = a^2$ и $(-b)^2 = b^2$), а простое число положительно ($p \ge 2$), без ограничения общности будем считать числа положительными: $a > 0$ и $b > 0$, причём $a > b$. Разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов: $$ (a - b)(a + b) = p $$ Так как $a$ и $b$ — натуральные числа и $a > b$, то оба множителя $(a - b)$ и $(a + b)$ являются натуральными числами, при этом: $$ a + b > a - b > 0 $$ По определению простого числа, число $p$ имеет только два натуральных делителя — $1$ и $p$. Следовательно, единственным способом представить $p$ в виде произведения двух натуральных чисел является: $$ p = p \cdot 1 $$ Так как $a + b > a - b$, больший множитель равен $p$, а меньший равен $1$. Получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} a + b = p \\ a - b = 1 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения системы: $$ (a + b) + (a - b) = p + 1 $$ $$ 2a = p + 1 $$ $$ a = \frac{p + 1}{2} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ (a + b) - (a - b) = p - 1 $$ $$ 2b = p - 1 $$ $$ b = \frac{p - 1}{2} $$ Таким образом, искомые числа действительно равны $\frac{p - 1}{2}$ и $\frac{p + 1}{2}$, что и требовалось доказать.