ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1583

Число называется составным, если оно является натуральным, больше единицы и имеет более двух различных делителей (то есть делится не только на $1$ и на само себя). Рассмотрим выражение $mn(m + n)$, где $m$ и $n$ — натуральные числа ($m \ge 1$, $n \ge 1$). 1. Если $m = 1$ и $n = 1$, то: $$mn(m + n) = 1 \cdot 1 \cdot (1 + 1) = 2$$ Число $2$ имеет только два натуральных делителя ($1$ и $2$), поэтому оно является простым, а не составным. 2. Если хотя бы одно из чисел больше $1$ (то есть пара $(m; n) \neq (1; 1)$): * Пусть одно из чисел равно $1$, а другое больше $1$. Например, $m = 1$ и $n > 1$. Тогда выражение принимает вид: $$1 \cdot n \cdot (1 + n) = n(n + 1)$$ Так как $n > 1$, то $n \ge 2$ и $n + 1 \ge 3$. Таким образом, значение выражения представлено в виде произведения двух натуральных множителей $n$ и $n + 1$, каждый из которых строго больше $1$. Следовательно, это число имеет делители $1$, $n$, $n + 1$ и $n(n + 1)$, то есть имеет больше двух делителей и является составным. Случай, когда $n = 1$ и $m > 1$, рассматривается аналогично: получается произведение $m(m + 1)$, которое также является составным числом. * Пусть оба числа больше $1$ ($m > 1$ и $n > 1$). Тогда сумма $m + n > 2$, и число $mn(m + n)$ раскладывается на множители, среди которых, например, $m > 1$ и $n(m + n) > 1$. Значит, число имеет делители $1$, $m$, $mn(m + n)$, а также другие делители, и поэтому является составным. Следовательно, выражение $mn(m + n)$ является составным числом при любых натуральных значениях $m$ и $n$, кроме случая $m = 1$ и $n = 1$. Ответ: при любых натуральных $m$ и $n$, кроме $m = 1, n = 1$.