ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1584

Преобразуем исходное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $$ n^3(n + 1) - n^2(n - 2) + 1 = n^4 + n^3 - n^3 + 2n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 + 1 $$ Заметим, что полученный трехчлен представляет собой формулу квадрата суммы: $$ n^4 + 2n^2 + 1 = (n^2)^2 + 2 \cdot n^2 \cdot 1 + 1^2 = (n^2 + 1)^2 $$ Таким образом: $$ n^3(n + 1) - n^2(n - 2) + 1 = (n^2 + 1)(n^2 + 1) $$ Так как по условию $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$, то есть $n \ge 1$), оценим значение множителя $n^2 + 1$: при $n \ge 1$ получаем $n^2 \ge 1$, откуда $n^2 + 1 \ge 1 + 1 = 2$. Следовательно, при любом натуральном $n$ значение выражения представляет собой произведение двух натуральных множителей, каждый из которых строго больше 1: $$ n^2 + 1 > 1 $$ Число, которое можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, больших 1, имеет больше двух различных делителей (делится на 1, на $n^2 + 1$ и на $(n^2 + 1)^2$). Значит, по определению оно является составным числом при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.